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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 6

Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

6 . r = 4 s e n 2 θ c o s θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 até π 2 , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . ( 1 2 ∫ 0 π 2 4 s e n 2 θ c o s θ 2 d θ ) = ∫ 0 π 2 16 s e n 4 θ cos 2 ⁡ θ d θ =

4   . ∫ 0 π 2 ( 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ ) . s e n 2 θ d θ = 4   . ∫ 0 π 2 2 senθcosθ 2 ⁡   . s e n 2 θ d θ =

4   . ∫ 0 π 2 sen 2 θ 2 ⁡ . 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ = 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 2 θ - s e n 2 2 θ c o s θ d θ =

= θ - 1 4 s e n 4 θ - 1 3 s e n 3 2 θ   0 π 2 = π 2

Resposta

A = π 2

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