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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 24

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = cos ⁡ x ,   y = 1 - cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada utilizando a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximante. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas. Para isso, iremos igualar as equações

y = cos ⁡ x

y = 1 - cos ⁡ x

cos ⁡ x = 1 - cos ⁡ x

cos ⁡ x = 1 2

Dessa forma x = π 3 . Podemos esboçar a curva

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ 0 π / 3 cos ⁡ x - 1 - cos ⁡ x d x   + ∫ π / 3 π 1 - cos ⁡ x - cos ⁡ x d x

A = ∫ 0 π / 3 2 cos ⁡ x - 1 d x   + ∫ π / 3 π 1 - 2 cos ⁡ x d x = 2 s e n   x - x 0 π / 3 + x - 2 s e n   x π / 3 π = 2 3 + π 3

Resposta

A = 2 3 + π 3

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