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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 32

Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.

∫ 0 4 x + 2 - x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a integral apresentada e interpretar como a área de uma região. Dessa forma, após calcular a integral iremos esboçar a região em questão.

Passo 2

Primeiramente iremos simplificar a integral devido ao módulo da seguinte maneira

∫ 0 4 x + 2 - x d x = ∫ 0 4 x + 2 - x d x + ∫ 0 4 x - x + 2 d x

Dessa forma, temos duas integrais elementares que podem ser resolvidas utilizando o conceito de antiderivada

∫ 0 4 x + 2 - x d x + ∫ 0 4 x - x + 2 d x = 2 3 x + 2 3 / 2 - x 2 2 0 4 + x 2 2 - 2 3 x + 2 3 / 2 0 4

Passo 3

Aplicando os limites de integração, temos

2 3 x + 2 3 / 2 - x 2 2 0 4 + x 2 2 - 2 3 x + 2 3 / 2 0 4 = 2 3 4 + 2 3 / 2 - 4 2 2 - 2 3 0 + 2 3 / 2 - 0 2 2 + 4 2 2 - 2 3 4 + 2 3 / 2 - 0 2 2 - 2 3 0 + 2 3 / 2 = 44 3 - 4 6 - 4 3 2

Esboçando a região graficamente, temos

Resposta

∫ 0 4 x + 2 - x d x = 44 3 - 4 6 - 4 3 2

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