Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 47

Esboce as retas nos Exercícios 45-48 e encontre equações cartesianas para elas.

r cos ⁡ θ - 2 π 3 = 3

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da reta cartesiana encontrada.

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, apresenta uma diferença entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x - y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y + sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ - 2 π 3 = 1   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ 2 π 3 + sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ 2 π 3 = 3  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ 2 π 3 + r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ 2 π 3 = 3

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ - 1 2 + y ∙ 3 2 = 3

Multiplicando ambos os lados por - 2 , têm-se:

x - 3 y = - 6

Encontramos nossa equação da reta, em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x - 3 y = - 6 .

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a equação polar da circunferência com centro em ( r 0 ,θ 0 ) e raio a unidades.
Ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações r = a c o s θ e r = a ( 1 - c o s θ ) , a0.
Ache a área limitada por (a) o laço da limaçon r = 4 ( 1 + 2 c o s θ ) e (b) a parte externa da limaçon.
Ache a área da região interior ao gráfico de r = 2 as e n θ e exterior ao gráfico de r = a .
Ache a área da região interior ao gráfico da lemniscata r 2 = 2 s e n 2 θ e exterior ao gráfico de r = 1 .