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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 38

Escoamento ao longo de caminhos diferentes - Encontre o escoamento do campo F = ∇ ( x 2 z e y ) .

a. uma vez ao redor da elipse C na qual o plano x + y + z = 1 encontra o cilindro x 2 + z 2 = 25 , no sentido horário quando visto de cima do eixo positivo y.

b. ao longo da borda curva do helicoide no Exercício 27 de ( 1,0 , 0 ) a ( 1,0 , 2 π ) . Nos Exercícios 39 e 40, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para encontrar a circulação do campo F ao redor da curva C na direção indicada.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar a função como

f x , y , z = x 2 z e y

A - Podemos notar que F é um campo gradiente definido em todo R 3 . Portanto, este é um campo conservativo e o fluxo ao longo de qualquer curva fechada suave em R 3 é zero. Portanto,

W = ∮ F ∙ d r = ∮ ∇ f ∙ d r = ∮ d f = 0

Passo 2

B - Como F é um campo gradiente, o fluxo de A ( 1,0 , 0 ) para B ( 1,0 , 2 π ) (caminha independentemente) é

W = ∫ F ∙ d r = ∫ ∇ f ∙ d r = ∫ A B d f

Que pode ser escrita como

W = f B - f A = x 2 z e y 1,0 , 0 1,0 , 2 π

Substituindo os termos

W = 1 2 2 π e 0 - 1 2 0 e 0 = 2 π

Resposta

a )   W = 0

b )   W = 2 π

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