Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 52
a. Fluxo exterior e área Mostre que o fluxo exterior do campo vetorial de posição através de qualquer curva fechada à qual o teorema de Green se aplica é duas vezes a área da região delimitada pela curva.
b. Seja o vetor normal unitário exterior a uma curva fechada à qual o teorema de Green se aplica. Mostre que não é possível para ser ortogonal a em todo ponto de C.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Para e temos que o campo vetorial pode ser escrito como . Vamos assumir que C é uma curva fechada envolvendo uma região R que satisfaz as propriedades requeridas para aplicar o Teorema de Green. Portanto, do Teorema 5 o fluxo é dado por
Desenvolvendo os termos
Com isso, nós temos que
Onde é a área da região delimitada por .
Passo 2
B - Podemos notar que se é uma curva fechada com as propriedades indicadas no exercício, então a área da região delimitada por é
Agora, se é ortogonal ao vetor normal em todos os pontos da curva, então
Uma vez que . No entanto, da parte a) o fluxo é 2A. Desta forma,
Isso é uma contradição, portanto existe pelo menos um ponto na curva onde . Em outras palavras, neste ponto e não são ortogonais.
Resposta
Respondido acima!!!