Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 21
Mostre que qualquer campo vetorial da forma
Onde , e são diferenciáveis, é irrotacional.
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão pediu pra gente provar que qualquer campo vetorial de uma determinada forma é irrotacional.
Pra um campo ser irrotacional, precisamos que , onde:
Nesse caso, o campo é desse tipo:
Então:
Pra resolvermos isso, então, vamos começar calculando essas derivadas parciais. Lembrando que quando derivamos em função de uma variável, as outras são consideradas constantes. Ou seja, se derivamos uma função de uma variável em relação a outra variável vai dar zero:
Depois disso, vamos encontrar o valor do rotacional. Caso ele dê zero, independente de , provamos que esse campo vai ser sempre irrotacional – que é o que a gente quer!
Passo 2
Começamos com a primeira coordenada de :
As derivadas são:
Então:
Passo 3
Pra segunda coordenada:
Calculando as derivadas:
E:
Passo 4
E a última componente de :
Derivando:
Daí:
Passo 5
Voltando pro rotacional:
Ou seja, pra quaisquer funções , o campo
Tem rotacional zero, e, portanto, é irrotacional!
Resposta
Demonstrado na resolução.