Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 22

Escolhendo o limite inferior de integração na Eq. (28) no texto como o ponto inicial t 0 , mostre que Y ( t ) torna-se

Y t = ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 s y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s g s d s

Mostre que Y ( t ) é uma solução do problema de valor inicial:

L [ y ] = g ( t ) ,   y ( t 0 ) = 0 ,   y ' ( t 0 ) = 0 .  

Assim, Y pode ser identificado com v no Problema 21.

Passo 1

De acordo com o Teorema 3.6.1, Y ( t ) é igual a

Y t = - y 1 x ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t + y 2 x ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Separando e substituindo, teremos:

= - y 1 t ∫ t 0 t y 2 s g s y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s d s + y 2 ( t ) ∫ t 0 t y 1 s g ( s ) y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s d s

= ∫ t 0 t - y 1 ( t ) y 2 s g s y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s d s + ∫ t 0 t y 1 s y 2 ( t ) g ( s ) y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s d s

= ∫ t 0 t - y 1 ( t ) y 2 s g s y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s + y 1 s y 2 ( t ) g ( s ) y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s

= ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 ( s ) y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s g s d s

Como Y ( t ) é uma solução específica, ela satisfaz L [ y ] = g ( t ) .   Agora verificamos se ela satisfaz a primeira condição inicial.

Y t 0 = ∫ t 0 t 0   y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 s y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s g s d s = 0

Supondo que a função subintegral seja contínua em um intervalo I ( t 0 ∈ I ) , Y é a função primitiva da função subintegral, ou seja:

y ' t = y 1 t y 2 t - y 1 t y 2 t y 1 t y 2 ' t - y 1 ' t y 2 t g ( t )

Assim:

y ' t 0 = y 1 t y 2 t - y 1 t y 2 t y 1 t y 2 ' t - y 1 ' t y 2 t g t t 0 = y 1 t 0 y 2 t 0 - y 1 t 0 y 2 t 0 y 1 t 0 y 2 ' t 0 - y 1 ' t 0 y 2 t g t 0 = 0

Resposta

y t 0 = y 1 t 0 y 2 t 0 - y 1 t 0 y 2 t 0 y 1 t 0 y 2 ' t 0 - y 1 ' t 0 y 2 t g t 0 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 1 1 + e - x
Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' + y = e 2 x
Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.23- y ' ' + y = sec ⁡ x ,0xπ / 2
Resolva a equação diferencial usando a ) coeficientes a serem determinados e b ) variação dos parâmetros.20- y ' ' - 3 y ' + 2 y = s e nx
Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.24- y ' ' + y = c o t gx ,0xπ / 2