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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 3

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 2   ,   - 1 ≤ y ≤ 1 }   ;                     ρ ( x ,   y ) = x y 2

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão a gente precisa calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina!

Vamos lembrar as fórmulas disso.

Pra massa:

m = ∬ D ρ ( x ,   y ) d A

Pra coordenada x do centro de massa:

x - = 1 m ∬ D x   ρ x , y d A

Pra coordenada y do centro de massa:

y - = 1 m ∬ D y   ρ x , y d A

Como a região D é uma região quadrada, nós já temos dados os limites de integração de x e y :

0 ≤ x ≤ 2

- 1 ≤ y ≤ 1

Então vamos transformar essas integrais em integrais iteradas, e calcular (sempre de dentro pra fora).

Vamos começar com a massa, porque as outras dependem dela.

Passo 2

A integral que representa a massa fica assim:

m = ∬ D ρ x ,   y d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 2 d y d x

Integrando primeiro em função de y , mantendo x como constante:

∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 2 d y d x =

= ∫ 0 2 x y 3 3 y = - 1 y = 1 d x =

Substituindo nos limites de integração:

= ∫ 0 2 x ∙ 1 3 - x ∙ - 1 3 d x =

= ∫ 0 2 2 x 3 d x =

Agora integrando em função de x :

= 2 x 2 6 0 2 = 2 ∙ 2 2 6 - 0 =

⇒ m = 4 3

Passo 3

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = 1 m ∬ D x   ρ x ,   y d A = 3 4 ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 2 y 2 d y d x

Integrando primeiro em função de y , mantendo x como constante:

3 4 ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 2 y 2 d y d x =

= 3 4 ∫ 0 2 x 2 y 3 3 y = - 1 y = 1 d x =

Podemos colocar o 1 3 do integrando em evidência e cortar com o 3 que tá fora da integral. E substituir nos limites de integração:

= 1 4 ∫ 0 2 x 2 ∙ 1 - x 2 ∙ - 1 d x =

= 1 4 ∫ 0 2 2 x 2 d x =

Agora integrando em função de x :

= 1 4 2 x 3 3 0 2 = 1 4 2 ∙ 8 3 - 0 =

⇒ x - = 4 3

Passo 4

Show! Agora só falta calcular y - :

y - = 1 m ∬ D y   ρ x ,   y d A = 3 4 ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 3 d y d x

Começamos integrando em função de y , considerando x constante:

3 4 ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 3 d y d x =

= 3 4 ∫ 0 2 x y 4 4 y = - 1 y = 1 d x =

Substituindo nos limites de integração:

= 3 4 ∫ 0 2 x ∙ 1 4 4 - x ∙ - 1 4 4 d x

Como 1 4 = - 1 4 , essa subtração vai dar zero e:

y - = 0

⇒ x - , y - = 4 3 , 0

Resposta

m = 4 3

x ,   - y - = 4 3 ,   0

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