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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 17

Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P   e Q .

P - 2,4 , 0         Q = 6 , - 1,2

Passo 1

Fala ai estudioso!

Vamos para mais uma questão?

Essa fala sobre parametrização, então se liga nessa estratégia de resolução!

Para encontrar uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos P ( - 2,4 , 0 ) e Q ( 6 , - 1,2 ) , podemos usar a forma paramétrica da equação da reta.

É só fazer a substituição! Moleza!

Passo 2

Em 3 dimensões, uma das retas paramétricas que ligam 2 pontos P ( P x , P y , P z ) e Q ( Q x , Q y , Q z ) é igual a:

r t = 1 - t P + t Q

Queremos uma reta paramétrica que liga os seguintes pontos:

P 1 , - 1,2 ,     Q ( 4,1 , 7 )

Assim, é moleza achar a resposta utilizando a fórmula:

r t = 1 - t . ( 1 , - 1,2 ) + t ( 4,1 , 7 )

r t = 1 - t , - 1 + t , 2 - 2 t + 4 t , t , 7 t

Vamos unir as partes literais e não-literal.

Com isso, teremos.

r t = 1 - t + 4 t , - 1 + t + t , 2 - 2 t + 7 t

r t = 1 + 3 t , - 1 + 2 t , 2 + 5 t

A equação vetorial é:

r t = 1 , - 1,2 + t ( 3,2 , 5 )

Passo 3

Para encontrarmos as equações paramétricas

Aqui estão as equações paramétricas para cada coordenada:

x t = x P + x Q - x P ⋅ t

y t = y P + y Q - y P ⋅ t

z t = z P + z Q - z P ⋅ t

Substituindo as coordenadas dos pontos P e Q , temos:

x t = - 2 + 6 - - 2 ⋅ t

x t = - 2 + 8 t

y t = 4 + - 1 - 4 ⋅ t

y t = 4 - 5 t

z t = 0 + 2 - 0 ⋅ t

z t = 2 t

Portanto, as equações paramétricas para o segmento de reta são:

x t = - 2 + 8 t x t

y t = 4 - 5 t

z t = 2 t

Resposta

Equação vetorial:

r t = 1 , - 1,2 + t 3,2 , 5

Equação paramétrica:

x t = - 2 + 8 t x t

y t = 4 - 5 t

z t = 2 t

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