Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies. O paraboloide z = 4 x 2 + y 2 e o cilindro parabólico y = x 2 .

Passo 1

Olá, meu amigo. Tudo bem com você? Espero que esteja super mega hiper disposto a aprender um pouco hoje.

Queremos parametrizar a curva que é obtida pela interseção das seguintes superfícies:

z = 4 x 2 + y 2 ,     ( 1 ) y = x 2 ,     ( 2 )

A primeira coisa então é encontrar qual é a figura gerada dessa interseção, e fazemos isso igualando as equações, ou no nosso caso, substituindo uma equação da outra.

Após isso poderemos gerar uma parametrização adequada.

Passo 2

Substituindo x 2 por y e aplicando na equação ( 1 ) por conta da equação 2 :

z = 4 x 2 + y 2

z = 4 y + y 2

Iremos então criar a parametrização para podermos gerar nossa função vetorial:

y = t

z = 4 t + t 2

Se y = x 2 :

x = t

Assim, a resposta do problema é:

r t = < t , t , 4 t + t 2 >

Resposta

r t = < t , t , 4 t + t 2 >

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Combine as equações paramétricas com os gráficos (Figuras I-VI). Dê razões para suas escolhas:x = cos(t) , y = sen(t) , z = 1 / (1 + t^2)
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