O paraboloide z = 6 - x - x 2 - 2 y ² intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto ( 1 ,   2 ,   - 4 ) . Use um computador para fazer o gráfico do paraboloide, da parábola e da reta tangente em uma mesma tela.

Passo 1

Fala a pessoal! Vamos resolver um questãozinha juntos?

Seguinte! O enunciado pede para determinar as equações paramétricas para a reta tangente à parábola resultante da interseção do paraboloide z   =   6   -   x   -   x ²   -   2 y ² com o plano x = 1 , no ponto ( 1,2 , - 4 ) .

Para resolver, vamos precisar:

- Encontrar a equação da parábola resultante da interseção do paraboloide e do plano.

- Calcular o vetor normal à superfície nesse ponto.

- Usar o vetor normal e o ponto dado para encontrar a equação da reta tangente.

Eai?! Entendeu o passo a passo?

Agora é só resolver!

Passo 2

Primeiramente, galera, precisamos determinar qual é a equação da parábola supracitada pelo enunciado. Como o paraboloide intercepta o plano em x = 1 , se substituirmos esse valor na equação que nos foi dada, obteremos:

z = 6 - 1 - 1 - 2 y 2

z = 4 - 2 y 2

Para encontrarmos a reta tangente à essa parábola no ponto específicado, basta derivarmos parcialmente a função z em relação a y e substituir o ponto dado, saca só:

∂ z ∂ y 1 ,   2 ,   - 4 = - 4 y

Temos que y = 2

= - 4.2

= - 8

Passo 3

Tudo bem, já encontramos a reta tangente à parábola no ponto indicado. Agora nos resta descobrirmos as equações paramétricas para a reta tangente. Para as três dimensões, temos que o formato das equações serão:

x = x o + a t

y = y o + b t

z = z o + c t

Os valores de x o ,   y o e z o nós temos, então basta descobrirmos a ,   b e c , certo? Assim como o enunciado nos diz, x é constante, então a = 0 . O valor de c nós descobrimos implicitamente no passo anterior, vale - 8 . Por fim, o valor de b é 1 . Sendo assim, nossas equações serão:

x = 1

y = 2 + t

z = - 4 - 8 t

Passo 4

Plotando o gráfico das funções, teremos:

No qual em roxo está o paraboloide, em vermelho está a parábola e em azul claro está a reta tangente.

Resposta

x = 1

y = 2 + t

z = - 4 - 8 t

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