Combine as equações paramétricas com os gráficos (Figuras I-VI). Dê razões para suas escolhas:

x = cos(t) , y = sen(t) , z = 1 / (1 + t^2)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas:

x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = 1 ( 1 + t 2 )

Queremos saber qual das figuras abaixo essa equação se encaixa:

Para descobrirmos isso, temos que analisar cada uma das três equações paramétricas dadas e fazer relações entre elas.

Mas como assim??

Podemos fazer relações de como elas se comportam no plano bidimensional analisando apenas duas delas.

Em seguida, aplicarmos a terceira equação para vermos o comportamento no plano tridimensional.

Quer saber como?? Bora junto!!

Passo 2

Bom galera, a gente lembra que a equação paramétrica do circulo é:

x = r cos ⁡ t

y = r sin ⁡ t

E a do problema é:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

z = 1 ( 1 + t 2 )

Hmmmmm.. reparou???

Se analisarmos apenas x e y , teremos um circunferência de raio 1 !!

Agora vamos analisar z !

Passo 3

Analisando z , temos:

z = 1 ( 1 + t 2 )

Perceba que quanto mais aumentamos t , menor será o valor de z . Tão menor que tenderá a z = 0 para t → ∞ .

Então a gente tem um círculo do ponto de vista dos eixos x e y , mas como o eixo z diminui quanto maior t , temos a seguinte figura:

Resposta

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