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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 43

Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies. O cone z = x 2 + y 2 e o plano z = 1 + y .

Passo 1

Queremos parametrizar a curva que é obtida pela interseção das seguintes superfícies:

z = x 2 + y 2 ,     ( 1 ) z = 1 + y ,     ( 2 )

Quando a gente quer uma intersecção, a gente quer encontrar o local ou nesse caso a figura quando as nossas curvas se igualam. Então a gente pode igualar as equações de ambas as curvas, e ver qual curva é obtida.

Depois disso, a gente vai analisar a curva obtida e parametrizar da melhor forma possível. A parametrização consiste em colocarmos todas as variáveis que compõem nossa curva em uma variável em comum.

Passo 2

Como as duas superfícies estão na forma z = f ( x , y ) , vamos igualar as 2 equações:

x 2 + y 2 = 1 + y

Elevando ambas ao quadrado:

x 2 + y 2 = y + 1 2

Realizando o produto notável:

x 2 + y 2 = y 2 + 2 y + 1

Realizando as simplificações:

x 2 - 1 = 2 y

A gente tem então que nossa curva é a:

1 2 x 2 - 1 = y

Chamando x = t :

1 2 t 2 - 1 = y

Aplicando os valores parametrizados de x e y em z = 1 + y :

z = 1 + 1 2 t 2 - 1 2

z = 1 2 ( t 2 + 1 )

Assim, a resposta é:

r t = < t , 1 2 t 2 - 1 , 1 2 t 2 + 1 >

Resposta

r t = < t , 1 2 t 2 - 1 , 1 2 t 2 + 1 >

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