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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 100a

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função:

T x ,   t = T o + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Onde ω = 2 π 365 e λ é uma constante positiva.

a) Determine ∂ T ∂ x . Qual seu significado físico?

Passo 1

Eaee, tudo tranquilinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis que representa um estudo de penetração do congelamento:

T x ,   t = T o + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Onde:

  • T é a temperatura;
  • x é a profundidade em metros;
  • t é o tempo em dias;
  • λ é uma constante positiva;
  • E ω = 2 π 365 .

Queremos determinar a derivada parcial ∂ T ∂ x e dizer o que ela significa.

Lebrando que para resolver uma derivada parcial, devemos escolher a variável em relação à qual deseja derivar ( x , no nosso caso) e trate todas as outras variáveis como constantes.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Queremos saber a derivada parcial ∂ T ∂ x , então aplicando o conceito que vimos no passo 1, temos que, aplicando a regra da soma, temos:

∂ T ∂ x = ∂ ∂ x T o + ∂ ∂ x T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

A derivada da constante T 0 é zero, portanto:

∂ T ∂ x = ∂ ∂ x T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Colocando T 1 para fora e aplicando a regra da multiplicação, temos:

∂ T ∂ x = T 1 ⋅ e - λ x ∂ ∂ x s e n ω t - λ x + ∂ ∂ x e - λ x s e n ω t - λ x

Resolvendo a derivada com o auxílio da Regra da Cadeia, obtemos:

∂ T ∂ x = T 1 e - λ x ⋅ - λ ⋅ s e n ω t - λ x + e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x ⋅ - λ

Simplificando, temos:

∂ T ∂ x = - λ T 1 ⋅ e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

Mas o que isso significa fisicamente?

A quantidade que descobrimos representa a taxa de variação da temperatura T em relação à uma profundidade x abaixo da superfície em um instante de tempo t qualquer.

Resposta

∂ T ∂ x = - λ T 1 ⋅ e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

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