Calcule os limites.

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k

Pessoal, para calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes.

Nesse caso, as componentes são:

x = e - 3 t

y = t 2 s e n 2 t

z = cos ⁡ 2 t

Assim, devemos calcular o limite para t → 0 para cada uma dessas componentes e depois a gente junta tudo novamente 😉

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da componente x :

l i m t → 0   x t = l i m t → 0   e - 3 t

Aqui basta fazermos t = 0 , logo:

l i m t → 0   x t = e 0 ∴

l i m t → 0   x t = 1

Passo 3

Agora para a componente y :

l i m t → 0   y t = l i m t → 0   t 2 s e n 2 t

Aqui a gente não pode simplesmente substituir t = 0 pois teríamos uma indeterminação (uma divisão por zero).

Assim, temos que fazer algumas manipulações algébrias a fim de eliminarmos essa indeterminação.

A gente pode colocar tudo no denominador dessa forma:

l i m t → 0   y t = 1 l i m t → 0   s e n   t t 2 ∴

l i m t → 0   y t = 1 l i m t → 0   s e n   t t 2

Existe uma identidade trigonométrica que diz que s e n   t t = 1 , portanto:

l i m t → 0   y t = 1 1 2 ∴

l i m t → 0   y t = 1

Passo 4

Por fim, a componente z :

l i m t → 0   z t = l i m t → 0 cos ⁡ 2 t

Fazendo t = 0 , temos:

l i m t → 0   z t = cos ⁡ 0 ∴

l i m t → 0   z t = 1

Então, substituindo no limite do enunciado, temos:

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k = 1 ,   1 ,   1 ∴

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k = i + j + k

Resposta

i + j + k

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