Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 49
Encontre a equação do plano normal e do plano osculador para a curva dada pelo ponto.
Passo 1
Fala ai galerinha. Tranquilo? 😊
Vamos para mais uma questão! E chegou a hora de entendermos o qeu fazer para resolver esta questão!
Para resolver esse problema, primeiro entendemos a curva representada pelas equações paramétricas.
Depois, derivamos essas equações em relação ao parâmetro , que nos dá vetores tangentes à curva.
Em seguida, substituímos o valor específico de dado no ponto para calcularmos as derivadas nesse ponto.
Com isso, encontramos o vetor normal ao plano tangente. Utilizando esse vetor e o ponto dado.
E para a equação do plano osculador utilizaremos
E por fim, escrevemos as equações dos planos normal e osculador, com a definição
Vamos começar? 😊
Passo 2
Um vetor normal ao plano normal é dado por:
A equação do plano normal pode ser calculado por:
Um vetor binormal é dado por:
A equação do plano osculador é dada por:
Para determinarmos a equação de um plano precisamos do vetor normal a este plano.
O ponto que queremos utilizar é: . O parâmetro associado a este ponto é , para verificarmos isso basta substituir em .
Passo 3
Vamos calcular a derivadas a fim de chegarmos no vetor normal ao plano.
A derivara de é:
Então:
Aqui podemos utilizar sem a constante que esta multiplicando o vetor, pois este continua tendo a mesma direção e é isso que importa para encontrar a equação de um plano.
Passo 4
Portanto a equação do plano é dada por:
Onde corresponde ao ponto .
Então a equação do plano normal é:
Passo 5
Para obter o vetor que nos de a equação do plano osculador fazemos:
A derivada de é:
Então:
Passo 6
Aplicando :
Mas esse vetor esta na mesma direção do vetor normal ao plano normal e queremos um vetor perpendicular, então fazemos:
Pegamos os valores calcular no Passo 6
Passo 7
Portanto a equação do plano é dada por:
Onde corresponde ao ponto .
Então a equação do plano osculador é:
Resposta
Plano normal:
Plano osculador: