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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 57

Mostre que para todo ponto da curva

r → t = e t cos ⁡ t , e t sin ⁡ t , e t

o ângulo entre o vetor tangente unitário e o eixo z é o mesmo. Em seguida, mostre que o mesmo resultado é válido para os vetores normal e binormal.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que mostremos que o ângulo entre o vetor tangente unitário e o eixo z é o mesmo para cada ponto na curva dada pelo seguinte vetor

r → t = e t cos ⁡ t , e t sin ⁡ t , e t

Em seguida, devemos demonstrar que o mesmo resultado é válido para os vetores normal e binormal.

Para mostrar que o ângulo não varia nos 3 casos, o que o enunciado pede vamos precisar encontrar o vetor unitário tangente a curva, o vetor normal e o vetor binormal .

O vetor tangente é dado por:

T → t = r → ' t r → ' ( t )

O vetor normal é dado por:

N → t = T → ' t | T → ' t |

O vetor binormal é dado por:

B → t = N → t × T → t

Passo 2

Para mostrar que o ângulo entre o vetor tangente unitário e o eixo z é o mesmo para toda curva, precisamos encontrar quem é este ângulo e ele precisa ser constante.

O vetor tangente a curva pode ser obtido a partir da primeira derivada de r → t :

r → ' t = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t , e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t , e t

Mas queremos o vetor tangente unitário, então basta divider pelo módulo de r → ' t :

T → t = r → ' t r → ' t

T → t = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t , e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t , e t e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t 2 + e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t 2 + e 2 t )

T → t = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t , e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t , e t 3 e 2 t

T → t = cos ⁡ t - sin ⁡ t , sin ⁡ t + cos ⁡ t , 1 3

O eizo z , pode ser determinado pelo vetor R → = 0,0 , 1 .

Para encontrar o ângulo entre dois vetores podemos fazer o produto escalar entre eles:

T → t ∙ R → = cos ⁡ t - sin ⁡ t , sin ⁡ t + cos ⁡ t , 1 3 ∙ 0,0 , 1

T → t ∙ R → = 1 3

Portanto como o produto escalar é constante quer dizer que o ângulo entre o vetor unitário tangente e o eixo z não está variando logo é o mesmo para qualquer ponto da curva.

Passo 3

Vamos agora calcular o vetor normal e o vetor binormal para mostrar que o ângulo entre eles também é o mesmo para qualquer ponto da curva.

O vetor normal é dado por:

N → t = T → ' t | T → ' t |

A derivada de T → t é:

T → ' t = - sin ⁡ t - cos ⁡ t , cos ⁡ t - sin ⁡ t , 0

Então:

N → t = T → ' t T → ' t

N → t = - sin ⁡ t - cos ⁡ t , cos ⁡ t - sin ⁡ t , 0 1

Desta forma o produto escalar do vetor normal com o eixo z é:

N → t ∙ R → = - sin ⁡ t - cos ⁡ t , cos ⁡ t - sin ⁡ t , 0 ∙ 0,0 , 1

N → t ∙ R → = 0

Portanto como o produto escalar é constante quer dizer que o ângulo entre o vetor normal e o eixo z não está variando logo é o mesmo para qualquer ponto da curva.

Passo 4

O vetor binormal é dado pelo seguinte produto vetorial:

B → t = N → t × T → t

Que pode ser calculado a partir do determinante da matriz:

i ^ j ^ k ^ - sin ⁡ t + cos ⁡ t cos ⁡ t - sin �� t 0 cos ⁡ t - sin ⁡ t sin ⁡ t + cos ⁡ t 1 = cos ⁡ t - sin ⁡ t , sin ⁡ t + cos ⁡ t , - 1

Portanto:

B → t = N → t × T → t = cos ⁡ t - sin ⁡ t , sin ⁡ t + cos ⁡ t , - 1

Desta forma o produto escalar do vetor binormal com o eixo z é:

B → t ∙ R → = cos ⁡ t - sin ⁡ t , sin ⁡ t + cos ⁡ t , - 1 ∙ 0,0 , 1

B → t ∙ R → = - 1

Portanto como o produto escalar é constante quer dizer que o ângulo entre o vetor binormal e o eixo z não está variando logo é o mesmo para qualquer ponto da curva.

Resposta

Demonstração

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