Use o teorema 10 para encontrar a curvatura.

r(t) = t*i^ + t² + e^t*k^

Passo 1

Oi, meu brother. Partiu mais uma resolução.

Dada a curva:

r → t = t i ^ + t ² j ^ + e t k ^

Vamos utilizar o teorema 10 para encontrar a sua curvatura.

O teorema nos diz que a curvatura de uma curva é dada por:

k t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' t 3

Desta forma precisamos encontrar quem é r → ' t e r → ' ' t , que são a primeira e a segunda derivada de r → t .

Mas como r → t é uma função vetorial a derivada da função corresponde a derivada de cada componente i ,   j e k .

Passo 2

Calculando a primeira derivada:

r → t = t i ^ + t ² j ^ + e t k ^

r → ' ( t ) = 1 i ^ + 2 t j ^ + e t k ^

Calculando a segunda derivada:

r → ' ' t = 2 j ^ + e t k ^

Passo 3

Calculando k ( t ) :

k t = r → ' t × r → ' ' t r → ' t 3

k t = | 1,2 t , e t × 0,2 , e t | 1,2 t , e t 3

O produto vetorial pode ser calculado a partir do determinante da matriz:

1,2 t , e t × 0,2 , e t = i ^ j ^ k ^ 1 2 t e t 0 2 e t = 2 e t ( t - 1 ) , e t , 2

O módulo de um vetor é:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Então:

2 e t t - 1 , e t , 2 = 4 e 2 t t - 1 2 + e 2 t + 4

E o modulo de:

1,2 t , e t = 1 + 4 t 2 + e 2 t

Desta forma k ( t ) é:

k t = 4 e 2 t t - 1 2 + e 2 t + 4 1 + 4 t 2 + e 2 t 3 / 2

Resposta

A curvatura é:

k t = 4 e 2 t t - 1 2 + e 2 t + 4 1 + 4 t 2 + e 2 t 3 / 2

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