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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 24

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = t 2 - 1         y = t 2 + 1         z = t + 1         ( - 1,1 , 1 )

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para mais um dia de aprendizado?

Veja bem, estarei aqui te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a curva parametrizada:

x = t 2 - 1         y = t 2 + 1         z = t + 1

E queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva parametrizada apresentada no ponto:

- 1,1 , 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

x = x t ,     y = y t ,     z = z ( t )

A reta tangente dessa equação paramétrica é:

r t = < x t , y t , z t > + t < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos saber a equação paramétrica da reta tangente da seguinte função vetorial:

x = t 2 - 1 ,     y = t 2 + 1 ,     z = t + 1

No ponto:

( - 1,1 , 1 )

Primeiro vamos descobrir para que tempo de t conseguimos o ponto - 1,1 , 1 , ou seja, satisfz as equações em x , y e z :

x = t 2 - 1 y = t 2 + 1 z = t + 1

O ponto nos diz que:

x = - 1

Então:

- 1 = t 2 - 1

Logo temos que:

t = 0

Este é o ponto t que gera o ponto:

( - 1,1 , 1 )

O único tempo que satisfaz as 3 equações é t = 0 .

Passo 3

Vamos agora calcular a reta tangente à equação paramétrica no ponto t = 0 :

Precisamos derivar cada uma das equações:

x = t 2 - 1         y = t 2 + 1         z = t + 1        

Como aqui temos derivadas trigonométricas, a gente tira isso de letra:

x ' t = 2 t y ' t = 2 t z ' t = 1

Para t = 0 , temos:

x ' 0 = 0

y ' 0 = 0

z ' 0 = 1

Substituindo então na equação:

r t = < x t , y t , z t > + t < x ' t , y ' t , z ' t >

r t = < - 1,1 , 1 > + t < 0,0 , 1 >

r t = ( - 1,1 , t + 1 )

Resposta

r t = ( - 1,1 , t + 1 )

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