Reparametrize a curva em relação ao comprimento do arco do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r(t) = 3sen t i^ + 4t j^ + 3cos t k^

Passo 1

Para reparametrizar a curva em relação ao comprimento de arco precisamos inicialmente encontrar quem é esse comprimento de arco, que é dado pela equação:

d S d t = | r → ' t |

Passo 2

Como r → t é uma função vetorial a sua derivada corresponde a derivada de cada componente, então calculando a derivada obtemos:

r → ' t = 3 cos ⁡ t , 4 , - 3 s e n   t

Calculando d S d t :

d S d t = r → ' t = 3 2 cos 2 ⁡ t + 4 2 + ( - 3 ) 2 s e n 2 t   = 2 5 = 5

Podemos utilizar o parâmetro t = 0 como limite de integração para poder calcular S ( t ) .

Então a função de comprimento de arco é:

S = S t = ∫ 0 t 5   d t ' = 5   t - 5 ⋅ 0 = 5 t

Desta forma:

t = S 5

Passo 3

Reparametrizando a curva:

r → t ( S ) = 3 sen ⁡ S 5 i ^ + 4 5 S j ^ + 3 cos ⁡ S 5 k ^

Resposta

r → t ( S ) = 3 sen ⁡ S 5 i ^ + 4 5 S j ^ + 3 cos ⁡ S 5 k ^

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