Trace a curva espacial e sua função curvatura kappa(t) . Comente como a curvatura reflete a forma da curva.

r(t) = 〈 t * e^t, e^(-t), raiz(2) * t 〉, -5 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Fala ai pessoal!

Tranquilo? Para conseguirmos traçar a função κ t , temos primeiro que encontrá-la. E como podemos fazer isso? Que tal seguirmos alguns passos?

1 – Determinar as derivadas da função vetorial

2 – Calcular o produto vetorial entre a derivadas primeira e a derivada segunda

3 – Verificar o módulo

4 – Calcular a função da curvatura através da fórmula 9

5 – Análise para construção do gráfico.

Vamos começar!

Passo 2

Vamos lembrar que a função curvatura é dada por

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' t 3

E que o produto vetorial é dito

v → × u → = d e t i ^ j ^ k ^ v x v y v z u x u y u z

Passo 3

Calculando r → ' t

r → ' t =   ( t + 1 ) e t , - e - t , 2

Calculando r → ' ' t

r → ' ' t = t + 2 e t , e - t , 0

Passo 4

Dada a função r t , podemos dizer que

r → ' t × r → ' ' t = i ^ j ^ k ^ t + 1 e t - e - t 2 t + 2 e t e - t 0 =

Simplificando cada termo:

= i - 2 e - t - j - 2 2 e t + t e t + k e 0 + t e 0 + e - t 2 e t + t e t

= i - 2 e - t - j - 2 2 e t + t e t + k 1 + t + 2 + t

= i - 2 e - t - j - 2 2 e t + t e t + k 3 + 2 t

= i ( - 2 e - t ) - j ( - 2 e t ( 2 + t ) ) + k ( 3 + 2 t )

Passo 5

Calculando

r → ' t = e t + t e t 2 + - e - t + 2 2

Simplificando

r → ' t = e t ( 1 + t 2 + e - 2 t + 2

Passo 6

Calculando agora

r → ' t × r → ' ' t = - 2 e - t 2 + ( - 2 e t 2 + t ) ² + 2 t + 3 2

Simplificando cada termo

r → ' t × r → ' ' t = 2 e - 2 t + 2 e t 2 + t 2 + 2 t + 3 2

Passo 7

Cálculo de

κ t = ∥ r ' t × r ' ' t ∥ ∥ r ' t ∥ ³ ​  

Passo 8

A curvatura κ ( t ) quantifica como a curva muda sua direção em diferentes pontos. Em regiões onde κ ( t ) é maior, a curva está mudando de direção mais rapidamente, indicando maior curvatura ou "torção". Em regiões onde κ ( t ) é menor, a curva é mais suave e se aproxima de uma linha reta.

Primeiramente traçamos o gráfico de r → t × t

Passo 9

Em seguida temos κ t × t

Para a curva r ( t ) , a função curvatura κ ( t ) refletirá as variações de curvatura ao longo do intervalo - 5 ≤ t ≤ 5 . Por exemplo, perto de t = 0 , onde as derivadas são mais simples, a curvatura pode ser menor, enquanto em valores extremos de t , a curva pode ter maiores mudanças de direção, resultando em maior curvatura.

Resposta

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