Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 3
Determine o comprimento da curva dada.
,
Passo 1
Fala aí! Precisamos encontrar o comprimento da curva que o enunciado deu, ok?
Vamos começar relembrando que se a gente tem uma equação paramétrica do tipo:
O comprimento da curva de um ponto até um ponto vai ser:
Opa! Beleza! Já sabemos o que fazer, né? Vamos lá!
Passo 2
Vamos então achar o comprimento da nossa curva:
Usando o mesmo jeitinho do que vimos no passo 1, beleza?
Vamos nessa!
Colocando as derivadas:
Elevando-as ao quadrado:
Agora se fazendo o M.M.C. vamos ficar com:
Esse nosso numerador é um produto notável, né? Vamos então escrever ele assim, olha só:
Tanto o numerador como o denominador estão elevados ao quadrado dentro da raiz… Show! Podemos tirar eles de lá, mas lembrando que isso só pode acontecer se eles forem positivos, né? Então vamos tirar da raiz o módulo deles, ok?
Bom, e a gente lembra que:
Então voltando a nossa integral, vamos ter:
Separando a divisão em duas:
Simplificando a primeira divisão e reescrevendo a segunda:
Realizando a integração:
Colocando os limites de integração:
Uhul!! Conseguimos!!