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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 38

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Queremos determinar o maior conjunto no qual a função é contínua.

Para isso, temos que verificar o comportamento da função nas duas condições dadas e procurar por alguma descontinuidade.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Inicialmente, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) :

Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Assim,

x 2 + x y + y 2 = 0

Logo,

x 2 + y 2 = - x y

Isso só acontece quando x , y = ( 0,0 ) .

Porém, esse ponto não faz parte do domínio.

Assim, f ( x , y ) é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto 0,0 .

Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de ( 0,0 ) :

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + x y + y 2  

Vamos aproximar a função pela reta x = 0 :

f 0 , y = 0 ⋅ y 0 + 0 ⋅ y + y 2 = 0

Vamos aproximar a função pela reta y = 0 :

f x , 0 = x ⋅ 0 x 2 + x ⋅ 0 + 0 = 0

Vamos aproximar a função pela reta y = x :

f x , x = x ⋅ x x 2 + x ⋅ x + x 2

f x , x = x 2 3 x 2

f x , x = 1 3

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, então o limite não existe!

Assim, vemos que f ( x , y ) possui uma descontinuidade no ponto ( 0,0 ) .

Portanto, o maior conjunto no qual a função é contínua será todos os pontos, exceto o ( 0,0 ) .

Resposta

O maior conjunto no qual a f é contínua é { x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) } .

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25. Esboçar a região de continuidade das seguintes funções:a) f x , y = x 2 + 2 x y 3 x 2 - y 2 - 1
26. Calcular underset(r - r_0)(lim) vec f (x , y , z) , dados:a) vec f (x , y , z) = (x^2 + y^2 , (x y)/(z) , (x - 2)/(x^2 - 4)) ; vec r_0 = ( 2,1 , 1 )
Discuta a continuidade das funções abaixo:(b) f (x , y) = {[[(x^3)/(x^2 + y^2) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = (0 , 0)]])