Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r(t) = t^2 * i + ln(t) * j + t * k

Passo 1

Olá, vamos resolver mais uma atividade?

Temos aqui meu querido aluno, a equação da posição de uma partícula:

r t = t 2 i + ln ⁡ t j + t k

E precisamos encontrar a equação da velocidade, da aceleração e da velocidade escalar.

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t , z t

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = t 2   i + l n ⁡ ( t )   j + t   k

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t t 2   i + d d t ln ⁡ t   j + d d t t   k

v t = 2 t i + 1 t j + 1   k

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = x t 2 + y t 2 + z t 2

Substituindo os valores:

v t = 2 t 2 + 1 t 2 + 1 2

v t = 4 t 2 + 1 t 2 + 1

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d 2 r d t 2

a t = d v d t

Realizando a derivada da equação da velocidade:

a t = d d t 2 t   i + d d t 1 t j + d d t 1 k

a t = 2 i - 1 t 2   j

Resposta

v t = 2 t i + 1 t j + 1   k

v t = 4 t 2 + 1 t 2 + 1

a t = 2 i - 1 t 2   j

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