Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 19
A função posição de uma partícula é dada por. Quando sua velocidade escalar é mínima?
Passo 1
E aí, pessoal. Beleza?
Aqui nós temos a posição da partícula e queremos saber quando a sua velocidade escalar será mínima. Nosso objetivo será calcular a velocidade escalar e analisar a expressão para descobrir onde ela será mínima.
Uma partícula que percorre uma função vetorial do tipo:
Tem como função vetorial velocidade:
A velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade, isto é,
Nosso trabalho agora é calcular essas derivadas e substituir na expressão acima.
Vamos lá...
Passo 2
Derivando componente a componente do vetor posição, obtemos
A velocidade escalar dessa partícula é:
Agora a gente precisa achar o ponto mínimo dessa função. Mas nossa, derivar isso vai ser muito chato!
Relaxa, vou te ensinar um jeito mágico!
Passo 3
Vamos fazer uma pequena manipulação para facilitar a nossa análise:
Agora reconhecemos termos múltiplos de 8 dentro da raiz. Colocando esse fator 8 em evidência, podemos escrever:
O termo entre parênteses é um quadrado perfeito:
Agora você vai entender porque fizemos isso!
Observando a expressão:
Vemos que
Assim, o valor mínimo da velocidade escalar é quando esse termo é mínimo, ou seja,