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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 18

a t = t i + e t j + e - t k ,                   v 0 = k ,                   r 0 = j + k

(a) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração, e suas velocidade e posição iniciais.

(b) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.

Passo 1

Fala ai pessoal. De boa?

O objetivo desta questão é (a) determinar o vetor posição de uma partícula ao longo do tempo, dada a sua aceleração e suas condições iniciais de velocidade e posição. Em seguida, (b) o objetivo é traçar a trajetória percorrida pela partícula utilizando um computador.

E como vamos resolver?

  1. Para determinarmos o vetor velocidade temos que integrar o vetor aceleração.
  2. Para determinar o vetor posição temos que integrar o vetor velocidade.
  3. Temos que verificar as constantes.

E isso galerinha. Vamos começar a resolver isso!

Passo 2

Quando temos a aceleração de um objeto do tipo:

a t = a x t i + a y t j + a z t k

A velocidade dessa partícula é:

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

E a posição dela é:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y ( t ) d t   j + ∫ v z t d t   k

Sendo v x , v y , v z as componentes da velocidade.

Passo 3

a) Queremos saber a posição da seguinte partícula:

a t = t i + e t j + e - t   k v 0 = k r 0 = j + k

Vamos descobrir a velocidade da partícula

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

v t = ∫ t d t   i + ∫ e t d t   j + ∫ e - t d t   k

v t = t 2 2 + C 1 i + ( e t + C 2 ) j + - e - t + C 3 k

Passo 4

Agora vamos calcular o valor das constantes de integração C 1 ,   C 2 e C 3 :

v 0 = k

C 1 i + ( 1 + C 2 ) j + ( - 1 + C 3 ) k = k

C 1 = 1 ,     C 2 = - 1 ,     C 3 = 2

Assim, a velocidade da partícula é:

v t = t 2 2 i + e t - 1 j + 2 - e - t k

Passo 5

Vamos calcular agora a posição da partícula:

r t = ∫ t 2 2 d t   i + ∫ e t - 1 d t   j + ∫ 2 - e - t d t   k

Integrando

r t = t 3 6 + C 4   i + ( e t - t + C 5 )   j + ( 2 t + e t + C 6 )   k

Agora vamos calcular o valor das constantes de integração C 4 , C 5 e C 6 :

r 0 = j + k

C 4 i + ( 1 + C 5 ) j + 1 + C 6 k = j

C 4 = 0 ,     C 5 = 0 ,     C 6 = 0

Assim a posição da partícula é:

r t = t 3 6 i + ( e t - t )   j + 2 t + e t   k

Resposta

r t = t 3 6 i + ( e t - t )   j + 2 t + e t   k

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