Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r(t) = t*i + t^2*j + 2*k; t = 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação da posição r de uma partícula:

r t = t i + t 2 j + 2 k

Queremos calcular a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula.

Para isso, basta sabermos que a velocidade é a derivada da posição em função do tempo. E que a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo.

A velocidade escalar vai ser o módulo do vetor velocidade que a gente vai descobrir 😉

Vamos colocar isso de forma matemática no Passo 2.

Aah... também queremos esboçar a trajetória da partícula e desenhar os vetores velocidade em t = 1 .

Passo 2

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t , z t

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r t d t

v t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t

a t = d 2 r t d t 2

a t = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Passo 3

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = t i + t 2   j + 2   k t = 1

O vetor posição em t = 1 é:

r 1 = 1   i + 1   j + 2   k

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t t   i + d d t t 2   j + d d t 2 k

v t = 1   i + 2 t j

Em t = 1 :

v 1 = 1   i + 2 j

Passo 4

A velocidade escalar da partícula é:

v t = 1 2 + 2 t 2

v t = 4 t 2 + 1

Passo 5

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t

a t = d 2 r d t 2

a t =   2   j

Em t = 1 :

a 1 =   2   j

Passo 6

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = t ,     ( 1 ) y = t 2 ,               2 z = 2 ,     ( 3 )

Aplicado a equação ( 1 ) em ( 2 ) :

y = t 2 → y = x 2

Então temos:

y = x 2 z = 2

O gráfico dessa equação é:

Resposta

v t = 1   i + 2 t j

v t = 4 t 2 + 1

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   2   j

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