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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 29

Atirando de (x0, y0) Deduza as equações

x = x 0 + v 0 cos ⁡ α t

y = y 0 + v 0 s e n   α t - 1 2 g t 2

(veja a Equação 7 no texto), resolvendo o seguinte problema de valor inicial para um vetor r no plano.

Equação diferencial: d 2 r d t 2 = - g j

Condições iniciais: r 0 = x 0 i + y 0 j

d r d t 0 = v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α j

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos voltar por um momento para a matéria de calculo definitivamente, resolvendo esse probleminha de PVI. Vamos integrar, achar duas constantes e descobrir a função vetorial r.

d r d t = ∫ - g j d t

d r d t = - g t j + C 1

Passo 2

Sabemos que d r d t 0 = v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α j , bora substituir e encontrar C 1 .

d r d t ( t ) = - g t j + C 1

d r d t 0 = v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α j = - g ⋅ 0   j + C 1

C 1 = v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α j

Então podemos escrever a função derivada como:

d r d t ( t ) = - g t j + v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α j

d r d t ( t ) = v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α - g t j

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente e definir a constante C 2 .

∫ d r = ∫ v 0 cos ⁡ α i + v 0 sen ⁡ α - g t j d t

r = v 0 cos ⁡ α t i + v 0 sen ⁡ α t - 1 2 g t 2 j + C 2

Passo 4

Das condições iniciais, r 0 = x 0 i + y 0 j , então vamos descobrir C 2 .

r ( t ) = v 0 cos ⁡ α t i + v 0 sen ⁡ α t - 1 2 g t 2 j + C 2

r 0 = x 0 i + y 0 j = v 0 cos ⁡ α 0 i + v 0 sen ⁡ α 0 - 1 2 g ⋅ 0 2 j + C 2

C 2 = x 0 i + y 0 j

Reescrevendo a função r,

r ( t ) = v 0 cos ⁡ α t i + v 0 sen ⁡ α t - 1 2 g t 2 j + x 0 i + y 0 j

r ( t ) = v 0 cos ⁡ α t + x 0 i + v 0 sen ⁡ α t - 1 2 g t 2 + y 0 j

E está demonstrado, as equações da das funções horários de posição horizontal e vertical!

Bora pro próximo!

Resposta

Dedução.

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