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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 18

Mostre que a elipse x = a cos ⁡ t ,   y = b sen ⁡ t ,   a > b > 0 , tem sua curvatura maior em seu eixo maior e sua curvatura menor em seu eixo menor. (Como no Exercício 17, o mesmo é verdadeiro para qualquer elipse.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Do Exemplo 6, nós temos que:

κ = x ˙ y ¨ - x ¨ y ˙ x 2 + y 2 3 / 2

Vamos calcular as derivadas, já para adiantar nosso lado

x ˙ = - a sen ⁡ t ;   x ¨ = - a cos ⁡ t

y ˙ = b cos ⁡ t ,   y ¨ = - b sen ⁡ t

Portanto, nós temos que

κ = - a sen ⁡ t ∙ - b sen ⁡ t - - acos ⁡ t ∙ b cos ⁡ t - a sen ⁡ t 2 + b cos ⁡ t 2 3 / 2

Fazendo alguns cálculos, chegamos ao seguinte resultado

κ = a b a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 3 / 2 ,     p a r a   a > b > 0

Passo 2

Diferenciando a equação acima em relação a t :

d κ d t = - a b ∙ 3 2 a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 1 2 ∙ 2 a 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + 2 b 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 3

Desenvolvendo mais os termos

d κ d t = - 3 2 a b a 2 - b 2 sen ⁡ 2 t a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 5 / 2

Encontrando mínimo e máximo:

d κ d t = 0

Como nós já sabemos quem é d κ d t , temos que

- 3 2 a b a 2 - b 2 sen ⁡ 2 t a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 5 2 = 0

Podemos melhorar nossa situação, com o seguinte

- 3 2 a b a 2 - b 2 sen ⁡ 2 t = 0

E então, podemos inferir que

sen ⁡ 2 t = 0 → 2 t = 0   o u   2 t = π

Passo 3

Verificando se os pontos acima são mínimos/máximos: para t < 0 → sen ⁡ 2 t < 0

d κ d t = - 3 2 a b a 2 - b 2 sen ⁡ 2 t a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 5 2 > 0

Para 0 < t < π 2 → 0 < 2 t < π , temos que sen ⁡ 2 t > 0

d κ d t = - 3 2 a b a 2 - b 2 sen ⁡ 2 t a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 5 2 > 0

E para t > π 2 → 2 t > π

d κ d t = - 3 2 a b a 2 - b 2 sen ⁡ 2 t a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t 5 2 > 0

Portanto, t = 0 é o máximo e t = π 2 é o mínimo. Agora, vamos substituir nas expressões

t = 0 → x = a cos ⁡ 0 → x = a

E

y = b sen ⁡ 0 → y = 0

Para t = π / 2

x = a cos ⁡ π 2 → x = 0

y = b sen ⁡ π 2 → y = b

Assim, a curvatura máxima ocorre em ( a , 0 ) , que é o eixo maior e a curvatura mínima ocorre em ( 0 , b ) que é o eixo menor.

Resposta

C u r v a t u r a   m á x i m a   e m   ( a , 0 )

C u r v a t u r a   m í n i m a   e m   ( 0 , b )

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