Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 12
Encontre para as curvas espaciais nos Exercícios 9-16.
12.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
O procedimento neste tipo de tarefa é o mesmo para curvas planas e espaciais. A maior parte é cálculo simples, mas é preciso ter cuidado com as condições (se houver) dadas na tarefa. Recebemos a curva e precisamos encontrar o vetor tangente unitário , o vetor normal unitário e a curvatura em qualquer ponto . Primeiro encontramos . Depois disso, aplicamos as seguintes relações. O vetor tangente unitário é simplesmente uma derivada normalizada da equação da curva:
Para prosseguir com o cálculo, encontramos a derivada do vetor tangente unitário e depois o normalizamos. A partir daí, desde:
Encontramos o vetor normal unitário que é dado como:
Na etapa final dos cálculos, encontramos a curvatura que é definida como:
Passo 2
A curva que nós estamos considerando é
A derivada da curva é igual a
A norma (medida) da derivada pode ser dada como
Com isso podemos calcular o vetor tangente:
Passo 3
A próxima etapa em nossos cálculos exige que obtenhamos uma derivada do vetor tangente. Neste caso é igual a:
O novo vetor não precisa ser o vetor unitário, então calculamos sua norma:
O vetor normal unitário é então dado como:
Finalmente, a curvatura é igual a: