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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 17

  1. Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f ;
  2. Determine o domínio de cada;
  3. Determine a imagem de cada.

f x = x + 1

g x = 1 / x

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos obter duas funções compostas, alterando apenas a ordem da composição, e, após isto, determinar o domínio e a imagem das funções compostas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de t que satisfazem a nossa f ( t ) . Isto é, faz com que f ( t ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( t ) , para cada valor de t .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar f ( t ) e h ( t ) tais que:

g t = f ∘ h t = f h t

Vamos então a nossa questão!

Passo 2

Vamos determinar as funções compostas inicialmente. Portanto, temos:

f g x = f 1 x = 1 x + 1 = 1 + x x

E,

g f x = g x + 1 = 1 x + 1

Passo 3

Vamos estudar o domínio das nossas funções. No caso da função f g x , temos uma raiz quadrada, e dentro dela, uma função racional. Como a raiz quadrada aceita apenas números positivos, temos a nossa primeira restrição que é:

x + 1 x > 0

Isto implica que x ≤ - 1 ou que x ≥ 0 . Alem disto, como não há divisão por 0, temos uma outra restrição que é x ≠ 0 . Portando o domínio da nossa primeira função composta é:

D f ∘ g = x ∈ R x ≤ - 1   o u   x > 0 }

Passo 4

No caso da função g f x , temos os mesmos elementos da função f g x . Como a raiz está no denominador, ela só aceita como argumento números maiores que zero. Logo,

D g ∘ f = x ∈ R x > - 1 }

Passo 5

Para analisarmos a imagem de cada uma das funções é um pouco mais complicado. Temos de substituir valores do domínio e observar o que acontece com a nossa função. Assim temos os seguintes casos para a função f g x . Para x < - 1 , temos:

f g - 1.2 = 1 / 6  

f g - 2 = 1 / 2  

f g - 4 = 3 / 4  

f g - 8 = 7 / 8  

Logo, os valores da nossa imagem variam no intervalo ( 0,1 ) . Para x > 0 , temos:

f g 0.2 = 6  

f g 0.5 = 3  

f g 2 = 3 / 2  

f g 4 = 5 / 4  

f g 8 = 8 / 9  

Logo, os valores da imagem variam no intervalo de ( 1 , ∞ ) . Portanto, a imagem da função f g x é o intervalo ( 0,1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) .  

Passo 6

Vamos repetir o mesmo procedimento para a função g f x analisarmos a imagem de cada uma das funções é um pouco mais complicado. Temos de substituir valores do domínio e observar o que acontece com a nossa função. Assim temos os seguintes casos. Para x > - 1 , temos:

g f - 0.9 = 1 0.1

g f - 0.5 = 1 0.5

g f 1 = 1 2

g f 4 = 1 5

g f 10 = 1 11

Logo, os valores da nossa imagem variam no intervalo ( 0 , ∞ ) .

Resposta

  1. f g x = 1 + x x

    g f x = 1 x + 1

  2. D f ∘ g = x ∈ R x ≤ - 1   o u   x > 0 }

    D g ∘ f = x ∈ R x > - 1 }

  3. Imagem de f g x

( 0,1 ) ∪ ( 1 , ∞ )

Imagem de g f x

( 0 , ∞ )

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Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -
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Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -