Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais.

r = 3 * sen(2θ)

Passo 1

Oiii, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão de uma curva (dada em coordenadas polares):

r = 3 sen ⁡ 2 θ

Queremos calcular o comprimento de um laço dessa curva com precisão de 4 casas decimais.

E, para isso, o enunciado nos pede para usarmos uma calculadora ou um software matemático.

Espera um pouco... Como assim laço??

Bom... se a gente plotar nossa curva, obteremos a seguinte figura:

Perceba que parece uma flor com quatro pétalas. Assim, queremos calcular o comprimento de uma dessas “pétalas”.

Para isso, o comprimento L é dado por:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2

Agora podemos aplicar!!! 😉

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de r .

Sabemos que:

r = 3 sen ⁡ 2 θ

Derivando, temos:

d r d θ = d d θ 3 sen ⁡ 2 θ

Colocando a constante para fora:

d r d θ = 3 d d θ sen ⁡ 2 θ

E aplicando a Regra da Cadeia:

d r d θ = 3 ⋅ 2 cos ⁡ 2 θ ∴

d r d θ = 6 cos ⁡ 2 θ

Passo 3

Desta forma, como r = 3 sen ⁡ 2 θ e geramos essa figura para 0 ≤ θ ≤ 2 π , temos:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 ∴

L = ∫ 0 2 π 3 sen ⁡ 2 θ 2 + 6 cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

Resolvendo com o auxílio de uma calculadora, teremos:

L = 29,0653

Resposta

L = 29,0653

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