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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 47

Escreva, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inércia em relação ao eixo z .

O sólido do Exercício 21; ρ x , y , z = x 2 + y 2

Passo 1

Vamos lá galera! Tudo certinho? A questão nos pede para calcular a massa, centro de massa e momento de inércia de um sólido delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1 . Vamos recordar como se faz cada um desses cálculos?

A massa é:

m = ∭ E ρ   d V

O centro de massa é:

x - = 1 m ∭ E x   ρ   d V

Momento de inércia em relação a z é:

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Passo 2

No Exercício 21 a questão descreve o sólido delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1

E nós achamos que as variações podem ser descritas como

0 ≤ z ≤ 1 - x

y 2 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

(a) A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

Veja que ρ =   x 2 + y 2 . Além disso veja que a região d V é a região contida entre as coordenadas descritas. Ou seja, substituindo o intervalo nas integrais:

m = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2   d z d x d y

Passo 3

(b) O centro de massa é ( x - , y - , z - ) onde

Pela fórmula do centro de massa, poderemos encontrar o centro de massa em cada uma das direções, pois ele é feito em relação ao eixo escolhido. Sendo assuim temos que:

x - = 1 m ∭ E x   ρ   d V = 1 m ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x x 2 + y 2   d z d x d y

y - = 1 m ∭ E y   ρ   d V = 1 m ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x y x 2 + y 2   d z d x d y

z - = 1 m ∭ E z   ρ   d V = 1 m ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x z x 2 + y 2   d z d x d y

Passo 4

(c) o momento de inércia em relação ao eixo z é dado por

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Fazendo as substituições::

I z = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2 x 2 + y 2   d z d x d y

Simplificando:

I z = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2 3 / 2   d z d x d y

Resposta

(a)

m = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2   d z d x d y

(b) ( x - , y - , z - ) onde:

x - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x x 2 + y 2   d z d x d y

y - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x y x 2 + y 2   d z d x d y

z - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x z x 2 + y 2   d z d x d y

(c)

I z = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2 3 / 2   d z d x d y

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