Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 74

Momento de inércia de uma esfera sólida Encontre o momento de inércia de uma esfera sólida de raio a em relação ao

diâmetro. (Tome d = 1.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos calcular o momento de inércia em coordenadas cartesianas, certo? Como r é a distância do ponto ( x , y , z ) na região D a uma reta L , então o momento de inércia ou os segundos momentos dependem da densidade.Vamos aplicar esses conceitos e as fórmulas em coordenadas cilíndricas?Neste exercício temos uma esfera sólida de raio a em relação a um diâmetro. Iremos assumir uma densidade δ = 1 .

Passo 2

Primeiro vamos orientar o diâmetro no plano x y . Os limitantes das integrais podem ser dados por:O valor de r é definido pelo raio:

0 ≤ r ≤ a

O intervalo de z é definido pela equação da esfera, então:

- a 2 - r 2 ≤ z ≤ a 2 - r 2

Por fim, temos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora podemos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z:

I z   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2     r 3 d z d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     2 r 3 a 2 - r 2 d r d θ   = ∫ 0 2 π     - r 2 5 - 2 a 2 15 a 2 - r 2 3 / 2 0 a d θ   = ∫ 0 2 π     2 15 a 5 d θ   = 8 π a 5 15

Resposta

Concluímos que o momento de inércia, nesta questão, é dado por 8 π a 5 15 .

Exercícios de Livros Relacionados

Aplique o Teorema de Steiner ao item b do Exercício 4.
Calcule o cilindro homogêneo x - a 2 + y 2 ≤ a 2 e 0 ≤ z ≤ h Calcule o momento de inércia em relação à reta x = a e y = 0 Calcule o momento de inércia em relação ao eixo O z .
Considere o cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 e suponha que a densidade no ponto ( x , y , z ) seja x : Calcule o momento de inércia em relação ao eixo O z . Calcule o centro de Massa
Encontre o centro de massa de uma solido de densidade constante delimitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente plano z=4Encontre o plano z = c que divide o solido em duas part
Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z = 0 , dos lados pleos cilindro elíptico x 2 + 4 y 2 = 4 e acima pelo plano z = 2 - x (veja a figura a seguir).Encontre x c . m e y c .