Momento de inércia de uma esfera sólida Encontre o momento de inércia de uma esfera sólida de raio a em relação ao

diâmetro. (Tome d = 1.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos calcular o momento de inércia em coordenadas cartesianas, certo? Como r é a distância do ponto ( x , y , z ) na região D a uma reta L , então o momento de inércia ou os segundos momentos dependem da densidade.Vamos aplicar esses conceitos e as fórmulas em coordenadas cilíndricas?Neste exercício temos uma esfera sólida de raio a em relação a um diâmetro. Iremos assumir uma densidade δ = 1 .

Passo 2

Primeiro vamos orientar o diâmetro no plano x y . Os limitantes das integrais podem ser dados por:O valor de r é definido pelo raio:

0 ≤ r ≤ a

O intervalo de z é definido pela equação da esfera, então:

- a 2 - r 2 ≤ z ≤ a 2 - r 2

Por fim, temos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora podemos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z:

I z   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2     r 3 d z d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     2 r 3 a 2 - r 2 d r d θ   = ∫ 0 2 π     - r 2 5 - 2 a 2 15 a 2 - r 2 3 / 2 0 a d θ   = ∫ 0 2 π     2 15 a 5 d θ   = 8 π a 5 15

Resposta

Concluímos que o momento de inércia, nesta questão, é dado por 8 π a 5 15 .

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