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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 24a

Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z = 0 , dos lados pleos cilindro elíptico x 2 + 4 y 2 = 4   e acima pelo plano z = 2 - x   (veja a figura a seguir).

  1. Encontre x c . m   e y c . m
  2. Calcule a integral

M x y = ∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 ∫ 0 2 - x z   d z   d y   d x

Utilizando as tabelas integrais para realizar a integral final em relação a x. em seguida divida por M, para certificar-se de que z c . m = 5 4 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos pela figura dada que:

x ∈ - 2 2

y ∈ - 1 2 4 - x 2 , 1 2 4 - x 2

z ∈ 0,2 - x

E sabemos que X c e n t = M y z M

Y c e n t = M x z M

Z c e n t = M x y M

Como exemplo, para M y z :

M y z = ∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 ∫ 0 2 - x x d z   d y   d x

Passo 2

Para M:

M = ∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 ∫ 0 2 - x d z   d y   d x

∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 2 - x d y   d x

∫ - 2 2 2 - x 4 - x 2 d x

Façamos x = 2   s e n u , logo d x = 2 cos ⁡ u d u , e quando x = - 2 ,   u = - π 2 e para x = 1 ,   u = π 2   Assim:

∫ - π 2 π 2 ( 2 - 2   s e n u 4 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u d u

∫ - π 2 π 2 2 1 - s e n u (   2 1 - s e n 2 u   )   2 cos ⁡ u d u

Sabemos que cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 , logo cos ⁡ x = 1 - s e n 2 u

∫ - π 2 π 2 2 1 - s e n u   4 cos 2 ⁡ u   d u

8 ∫ - π 2 π 2 1 - s e n u ( cos 2 ⁡ u )   d u

E novamente usando que cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 , logo cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 ( x )

8 ∫ - π 2 π 2 1 - s e n u 1 - s e n 2 u d u

8 ∫ π 2 π 2 1 - s e n 2 u - s e n u + s e n 3 u d u

E usando da propriedade de que a integral de uma soma é soma das integrais

8 ( ∫ - π 2 π 2 d u - ∫ - π 2 π 2 s e n 2 u   d u - ∫ - π 2 π 2 s e n u   d u   +   ∫ - π 2 π 2 s e n 3 u   d u )  

Para simplificar vamos essa a integral de s e n 3 ( u ) à parte

E das técnicas de integração, temos que ∫ s e n n a x d x = - s e n n - 1 a x cos ⁡ a x n a + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x sendo n > 2 . Assim:

s e n 2 u cos ⁡ u 3 - π 2 π 2 + 2 3 ∫ - π 2 π 2 s e n u   d u

s e n 2 u cos ⁡ u 3 - π 2 π 2 + 2 3 - cos ⁡ u - π 2 π 2 = 0

Voltando

8 ( ∫ - π 2 π 2 d u - ∫ - π 2 π 2 s e n 2 u   d u - ∫ - π 2 π 2 s e n u   d u   +   0 )

Sabendo que s e n 2 x = 1 2 1 + s e n 2 x

8 ∫ - π 2 π 2   d u - 1 2 ∫ - π 2 π 2   d u + 1 2 ∫ - π 2 π 2   s e n 2 u   d u - ∫ - π 2 π 2   s e n u   d u

Lembrando que ∫ s e n a x d x = - 1 a cos ⁡ a x + C

8 u π 2 π 2 - 1 2 u π 2 π 2 - 1 2 1 2 - cos ⁡ 2 u - π 2 π 2 - - cos ⁡ u - π 2 π 2

M = 4 π

(RAAAAPAZ... que continha trabalhosa)

Para M x z :

M x z = ∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 ∫ 0 2 - x y   d z   d y   d x

∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 y z 0 2 - x d y   d x

∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 y 2 - x d y   d x

∫ - 2 2 2 - x 2 y 2 - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 d x

M x z = 0

Para M x y :

M y z = ∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 ∫ 0 2 - x x   d z   d y   d x  

∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 x z 0 2 - x   d y   d x

∫ - 2 2 ∫ - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 x 2 - x d y   d x

∫ - 2 2 2 x - x 2 y - 1 2 4 - x 2 1 2 4 - x 2 d x

∫ - 2 2 2 x - x 2 4 - x 2       d x

E usando da propriedade de que a integral de uma soma é soma das integrais

2 ∫ - 2 2 x   4 - x 2     d x -   ∫ - 2 2 x 2 4 - x 2     d x  

Vamos resolver ambas separadamente.

Para a primeira, façamos x = 2   s e n u , logo d x = 2 cos ⁡ u d u , e quando x = - 2 ,   u = - π 2 e para x = 1 ,   u = π 2   Assim:

∫ - π 2 π 2 2   s e n u 2 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u   d u

E o processo é semelhante a que nós fizemos para achar a massa. CONTUDO, veja que esta é uma função impar e participante em um intervalo simétrico.

SE UMA FUNÇÃO É IMPAR E SEU INTERVALO DE INETGRAÇÃO É SIMETRICO, OU SEJA, POR EXEMPLO DE [-1,1], SUA INTEGRAL É 0. Assim:

∫ - 2 2 x 4 - x 2 = 0

Para segunda parte:

A segunda parte é uma função parte, feitas as substituições já sabemos que vai dar 2 π   (comprove, tente fazer a integração)

Assim:

0 - 2 π

Então:

M y z = - 2 π

Passo 3

E como já dito anteriormente:

X c e n t = M y z M

Y c e n t = M x z M

Logo:

x c e n t = - 2 π 4 π = - 1 2 π

y c e n t = 0 4 π = 0

Resposta

x c e n t = - 1 2 π

y c e n t = 0

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