Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 4
Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.
Passo 1
Bom, essa é uma questão introdutória sobre áreas de superfície de revolução: é pedido apenas para escrever a integral que fornecerá a área, mas não vamos precisar calcular ela (ufa né?). Além disso, devemos escrever tanto a expressão considerando a rotação em torno do eixo x (item a) como em torno do eixo y (item b). Para isso, é sempre bom fazer um esboço da curva né?
Observe que a curva na verdade é meia circunferência. Além disso, tomando como função de , a curva não passa no teste da reta vertical de modo que não representa uma função propriamente dita.
Passo 2
Para girar em torno do eixo x, precisamos quebrar a integral em duas partes. Para isso, vamos isolar :
Usando a fórmula de Bháskara considerando como constante:
Assim,
Desta forma,
Portanto, a integral que seria algo do tipo , é quebrada em
Passo 3
Para a rotação em torno do eixo y, a integral é dada por
onde é dado como função de . Derivando como função de :
Assim,
Resposta
a)
b)