Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo .
Passo 1
Queremos a área da superfície de revolução obtida quando se gira a curva em torno do eixo . Assim, usamos que
Tomando a derivada de , achamos :
Assim,
Passo 2
Desta forma, a área será
Vamos fazer . Portanto
Agora . Desta forma,
Passo 3
Vamos fazer agora uma substituição trigonométrica do tipo , assim . Além disso,
Desta forma,
Para calcular a integral de secante ao cubo, vamos usar integral por partes:
Passo 4
Chamando e , temos que e . Assim,
Por outro lado, podemos escrever , assim
Veja que uma integral se repete, então podemos passar ela para o outro lado:
Assim,
Desta forma,