Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo .
Passo 1
Queremos a área da superfície de revolução obtida quando se gira a curva em torno do eixo . Assim, usamos que
Tomando a derivada de , achamos :
Assim,
Passo 2
Desta forma, a área será
Vamos fazer . Portanto
Agora . Desta forma,
Passo 3
Vamos fazer agora uma substituição trigonométrica do tipo , assim . Além disso,
Desta forma,
Para calcular a integral de secante ao cubo, vamos usar integral por partes:
Passo 4
Chamando e , temos que e . Assim,
Por outro lado, podemos escrever , assim
Veja que uma integral se repete, então podemos passar ela para o outro lado:
Assim,
Desta forma,
Resposta
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Seja y = f(x) uma curva suave em [a, b] e suponha que f(x) ≥ 0 com a ≤ x ≤ b . Sejam A a área sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b e S a área da superfície gerada quando essa seção da curva gira e
Aproxime a área da superfície usando a Fórmula (2) com n = 20 subintervalos de mesmo comprimento. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.A superfície do Exercício 13.
Aproxime a área da superfície usando a Fórmula (2) com n = 20 subintervalos de mesmo comprimento. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.A superfície do Exercício 16.
Use os resultados do Exercício 28 e do Exercício 21 da Seção 6.4 para mostrar que a área S da superfície gerada quando a curva y = sec(x), 0 ≤ x ≤ π/3 gira em torno do eixo x satisfaz2 * pi^2 / 3 ≤ S
A figura abaixo mostra uma calota esférica de altura h , cortada de uma esfera de raio r . Mostre que a área da superfície S da calota é S = 2 π r h . [Sugestão: Faça uma parte apropriada do círculo x