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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 14

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → 1 2 ⁡ x 2 = 1 4

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que x 2   seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha 1 2 , mas não necessariamente definida para quando x = 1 2 . O polinômio x 2 definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha 1 2 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - 1 2 < δ   , então x 2 - 1 4 < ϵ

Se 0 < x - 1 2 < δ   , então x - 1 2 x + 1 2 < ϵ

Passo 2

Como temos os fatores x - 1 2 e x + 1 2 , vamos colocar uma restrição em δ para nos dar uma desigualdade envolvendo x + 1 2 . Para isso vamos estabelecer um intervalo aberto com as características descritas anteriormente, sendo este 1 ,   2 e isto implica que δ ≤ 1 . Assim podemos deduzir que:

0 < x - 1 2 < δ e δ ≤ 1

x - 1 2 < 1

- 1 < x - 1 2 < 1

0 < x + 1 2 < 2

x + 1 2 < 2

Passo 3

Tendo x + 1 2 < 2 e 0 < x - 1 2 < δ podemos mostrar que x - 1 2 x + 1 2 < 2 δ

Primeiro manipulamos x + 1 2 < 2

x + 1 2 < 2 δ

x + 1 2 δ < 2 δ

Agora manipulamos 0 < x - 1 2 < δ

0 < x - 1 2 < δ x + 1 2

0 < x - 1 2 x + 1 2 < δ x + 1 2

0 < x - 1 2 x + 1 2 < δ x + 1 2 e x + 1 2 δ < 2 δ temos que x - 1 2 x + 1 2 < 2 δ

Passo 4

Como queremos achar x - 1 2 x + 1 2 < ϵ e a afirmativa acima indica que devemos requerer 2 δ ≤   ϵ , isto é δ ≤ ϵ 2 . Assim devemos aplicar duas restrições e δ ≤ 1 e δ ≤ ϵ 2 . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar δ como o menor dos dois números. Prosseguindo temos

x - 1 2 x + 1 2 < 2 δ

x - 1 2 x + 1 2 < 2 ϵ 2 , pois δ ≤ ϵ 2

x - 1 2 x + 1 2 < ϵ

Demonstramos que tomar δ como o menor dos dois números para 0 < ϵ , a seguinte afirmativa é verdadeira

Se 0 < x - 1 2 < δ   , então x - 1 2 x + 1 2 < ϵ

O que prova que lim x → 1 2 ⁡ x 2 = 1 4 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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