Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.6 - Ex. 15

Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral:

com um erro de magnitude inferior a através da:

Regra do trapézio

Regra de Simpson

Passo 1

A integral numérica serve para que calculemos a solução de uma integral cuja primitiva não tem forma elementar. Para isso, dividimos o intervalo dado em subintervalos e aplicamos regras que aproximem o resultado para o valor real da integral. Para sabermos quantos subintervalos são necessários, usamos as seguintes equações:

Para o critério de parada da regra do trapézio temos a equação:

Sendo , estando c contido no intervalo, os limites do intervalo e o número de subintervalos. Para descobrirmos o número de subintervalos, substituímos a condição que: , que é o critério de parada, e isolamos n.

Invertendo as frações e o sinal da inequação, temos:

De forma análoga, a fórmula de erro para a regra de Simpson é:

Isolando da mesma forma que no passo anterior, teremos:

Com a diferença de que M será

Passo 2

Solucionando o item a:

Para M, com (maior valor do intervalo), teremos:

Substituindo para o erro da Regra do trapézio, teremos:

Como , ele deverá ser .

Passo 3

Solucionando o item b:

Para M, teremos:

No critério de erro da Regra de Simpson, temos:

Temos apenas uma particularidade para o valor de n, uma vez que, por trabalhar usando parábolas para aproximar valores, é necessário que , seja par. Logo:

Resposta

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