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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1f

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 2 - 4 x y + 4 y 2 - x + 3 y + 1

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   2 x - 4 y - 1 = 0                                   ∂ f ∂ y = - 4 x + 8 y + 3 = 0

∂ f ∂ x =   y = 1 2 x - 1 4                                   ∂ f ∂ y = y = 1 2 x - 3 8

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

1 2 x - 1 4     = 1 2 x - 3 8

- 1 4 = - 3 8

n ã o   h á   p o n t o   c r í t i c o .

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 2 - 4 x y + 4 y 2 - x + 3 y + 1

∂ f ∂ x =   2 x - 4 y - 1                                     ∂ f ∂ y = - 4 x + 8 y + 3                                     ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = - 4    

∂ 2 f ∂ x 2 = 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 8

H x , y = 2 - 4 - 4 8 = 16 - 16 = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r .

Resposta

n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r .

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