Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 35

14.35. Para as funções de uma variável, é impossível uma função contínua ter dois pontos de máximo local e nenhum de mínimo local. Para as funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função

Só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de tamanho de janela de inspeção e de ponto de vista para ver como isso é possível.

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade.

Dada a função:

Queremos mostrar que por essa função ser de duas variáveis, podemos ter pontos de críticos de máximo local.

Então precisamos provar que a função só tem dois pontos críticos, a ambos são pontos de máximo.

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

Podem ocorrer três casos:

então é um mínimo local.
então é um máximo local.
então não é nem mínimo e nem máximo local.

Então iremos provar aqui a letra b).

Passo 2

Vamos começar fazendo essas derivadas:

Vamos começar fazendo , primeiro vamos separar em duas derivadas

Agora a gente usa a regra da cadeia para ficar mais fácil as derivadas

Onde :

E agora vamos fazer:

De novo usando a regra da cadeia, com :

Então

Agora vamos fazer

Usando a mesma estratégia:

A primeira derivada nem depende de :

E agora vamos fazer:

Agora usando a regra da cadeia, com :

Então:

Passo 3

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

De a gente pode ver que para aquela equação ser ou ou , então é uma possibilidade.

Vamos substituir em

Isso é uma incoerência, então qualquer ponto onde não é um ponto de interesse.

Agora vamos ver onde . Vamos isolar .

Agora vamos substituir isso em :

Nossa quanto !!! Vamos dar uma simplificada:

Já que temos a condição onde , então a única opção que nos resta é onde , logo .

Assim

Nos pontos

Passo 4

Vamos calcular as segundas derivadas então

Agora derivamos isso em relação a

A outra derivada que precisamos é

Derivando em relação a

E a última derivada que precisamos ��

Vamos derivar isso em relação a

Passo 5

Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.

Vamos testar para o ponto

Então temos que analisar

Então é um ponto de máximo

Agora o ponto

Então temos que analisar

Então é um ponto de máximo também.

Passo 6

Então temos dois pontos críticos e ambos são pontos de máximo, agora vamos ver como fica esse gráfico com ajuda do GeoGebra:

Resposta

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