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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 16

14.16. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.

f x , y = ( 2 x - x 2 ) ( 2 y - y 2 )

Passo 1

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = ( 2 x - x 2 ) ( 2 y - y 2 )

Vamos derivar primeiro em relação à x , basta tratar ( 2 y - y 2 ) com constante

f x = 2 - 2 x 2 y - y 2

E agora em relação a y , basta tratar ( 2 x - x 2 ) como constante

f y = 2 x - x 2 2 - 2 y

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = 2 - 2 x 2 y - y 2 = 0

f y = 2 x - x 2 2 - 2 y = 0

Vamos usar a primeira equação

f x = 0

2 - 2 x 2 y - y 2 = 0

Vamos fazer a distributiva

4 y - 2 y 2 - 4 x y + 2 x y 2 = 0

Vamos isolar x

4 y - 2 y 2 = 4 x y - 2 x y 2

4 y - 2 y 2 = x 4 y - 2 y 2

Agora só passar dividindo

x = 4 y - 2 y 2 4 y - 2 y 2 = 1

Então x = 1

Por outro lado 4 y - 2 y 2 = 0 implica f x = 0 , então

y 4 - 2 y = 0

Então temos dois valores possíveis para y

y = 0   e   y = 2

Agora vamos substituir os valores que encontramos em f y .

Para x = 1

f y = 2 ( 1 ) - ( 1 ) 2 2 - 2 y = 0

1 2 - 2 y = 0

Então

2 = 2 y

y = 1

Então temos o ponto 1 ,   1

Agora vamos substituir y = 0

2 x - x 2 2 - 2 ( 0 ) = 0

4 x - 2 x 2 = 0

Então

x 4 - 2 x = 0

Logo para y = 0 temos os valores x = 0 e x = 2 .

Então temos os pontos 0 ,   0   e     ( 2,0 ) .

Por fim vamos usar y = 2

2 x - x 2 2 - 2 ( 2 ) = 0

2 x - x 2 - 2 = 0

- 4 x + 2 x 2 = 0

Então

x - 4 + 2 x = 0

Logo para y = 2 temos os valores x = 0 e x = 2 .

Então temos os pontos 0 ,   2   e     ( 2 , 2 ) .

Resumindo, nossos pontos de interesse são

1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   0 ,   2   e     ( 2 ,   2 )

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = 2 - 2 x 2 y - y 2

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ 2 - 2 x 2 y - y 2 ∂ x = - 2 2 y - y 2

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = 2 x - x 2 2 - 2 y

Derivando em relação a y

f y y = ∂ 2 x - x 2 2 - 2 y ∂ y = - 2 2 x - x 2  

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = 2 - 2 x 2 y - y 2

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ 2 - 2 x 2 y - y 2 ∂ y = 2 - 2 x 2 - 2 y

Então

D x , y = - 2 2 y - y 2 ⋅ - 2 2 x - x 2 - 2 - 2 x 2 - 2 y 2

Passo 4

Vamos testar para o ponto 0 , 0

D 0 , 0 = - 2 2 0 - 0 2 ⋅ - 2 2 0 - 0 2 - 2 - 2 0 2 - 2 0 2

D 0,0 = - 16

D 0 ,   0 < 0

Logo é um ponto de sela.

Agora o ponto 2 , 0

D 2 , 0 = - 2 2 ( 0 ) - ( 0 ) 2 ⋅ - 2 2 2 - 2 2 - 2 - 2 ( 2 2 - 2 ( 0 2

D 2 , 0 = - 16

D 2 ,   0 < 0

Logo é um ponto de sela.

Repare que isso é o mesmo para o ponto 0,2

Agora o ponto 2 , 2

D 2 , 2 = - 2 2 ( 2 ) - ( 2 ) 2 ⋅ - 2 2 2 - 2 2 - 2 - 2 ( 2 2 - 2 ( 2 2

D 2 , 2 = - 16

D 2 , 2 < 0

Logo é um ponto de sela.

Agora só falta o ponto 1,1

D 1 , 1 = 2 2 ( 1 ) - ( 1 ) 2 ⋅ 2 2 1 - 1 2 - 2 - 2 ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) 2

D 2,2 = 4

D 2,2 > 0

Então temos que analisar f x x 1,1

f x x 1,1 = - 2 2 1 - 1 2 = - 2 < 0

Então 1,1 é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora só falta fazer o gráfico.

Resposta

Os pontos de sela são

0,0 ,   0,2 ,   2,0   e   2,2

E o ponto de máximo é

( 1,1 )

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