Exercícios de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis - Lista de Exercícios Resolvida

Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função

Seja . Identifique e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) de .

A função possui

1. Infinitos pontos de sela
2. Infinitos pontos de máximo local
3. Infinitos pontos de mínimo local
4. Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
5. Nenhuma das outras alternativas

Um fio de arame com de comprimento será cortado em 3 pedaços. Um deles será encurvado na forma de uma circunferêcia, outro na forma de um quadrado, e o terceiro na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio para que a área combinada das três figuras seja a maior possível?

Seja em que e são números reais não nulos. Encontre os pontos críticos de e classifique-os em função de e .

Considere a função

O ponto

1. É de máximo local
2. É de mínimo global
3. É de mínimo local
4. É de sela
5. Não é um ponto critico

Considere a função

o ponto

(a) é de mínimo local

(b) é de máximo local

(c) é de mínimo global

(d) é de sela

(e) não é ponto crítico

Em relação aos pontos críticos e da função , pode se dizer que:

(a) e são pontos de sela

(b) é ponto de máximo local e é ponto de mínimo local

(c) é ponto de sela e é ponto de mínimo local

(d) é ponto de sela e é ponto de máximo local

(e) nenhum dos outros itens

Seja em que e são números reais não nulos. Encontre os pontos críticos de e classifique-os em função de e .

Determine e classifique os pontos críticos da função dada por

1 - Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo relacionadas:

a) ;

Seja

E considere as seguintes as afirmativas:

1. possui exatamente três pontos críticos
2. Apenas um ponto crítico de é ponto de mínimo local.
3. Apenas um ponto crítico de é ponto de sela.

Indique a alternativa correta:

1. Somente a afirmativa I é verdadeira
2. As afirmativas I e II são verdadeiras e III é falsa
3. As afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa
4. Todas as afirmativas são verdadeiras
5. Todas as afirmativas são falsas

Mostre que a função definida por admite máximo local em e mínimo locam em .

Seja uma função com derivadas de segunda ordem contínuas tal que , e . Para qual das afirmativas abaixo, o ponto será um ponto de sela de ?

5. Não sei

Seja

Onde . Então é um ponto de máximo local se:

Encontre todos os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

Seja

Encontre e classifique (como pontos de máximo local, de mínimo local ou de sela) todos ao pontos críticos de .

Considere as afirmativas sobre a função

1. possui três pontos críticos distintos
2. possui exatamente um ponto crítico e este é um ponto de mínimo local
3. Há ao menos um ponto crítico de que é ponto de sela

1. Todas as afirmações são verdadeiras
2. As afirmações I e III são verdadeiras e a afirmação II é falsa
3. As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira
4. As afirmações I e III são falsas e a afirmação II é verdadeira
5. As afirmações II e III são falsas e a afirmação I é verdadeira

Seja , onde . Então é ponto de máximo local de se?

não possui máximos locais;

;

;

.

A temperatura de uma placa quadrada de lado centrada na origem (e bordos paralelos aos eixos) é descrita pela função:

1. Determine os pontos críticos de e classifique-os.
2. Quais as temperaturas máxima e mínima da placa e onde elas ocorrem?
3. Escolha um dos pontos críticos e dê a aproximação de no entorno deste ponto, escrevendo seu polinômio de Taylor de segunda ordem (grau 2)
4. A partir do ponto em que direções a temperatura aumenta?

Seja dada por

1. Determine os pontos críticos de
2. Classifique os pontos obtidos no item anterior.

Seja

Onde são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de fazem do ponto um ponto de sela de :

Considere as seguintes afirmações:

1. Seja uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de , então é extremante global de .
2. Considere as e . Se as imagens de e estão contidas no gráfico de e é um ponto crítico de , então é um ponto de sela de .
3. Se é um subconjunto não vazio e limitado de e é contínua, então é limitada em .

Assinale a alternativa correta:

1. Somente a afirmação I é verdadeira
2. Somente a afirmação II é verdadeira
3. Somente a afirmação III é verdadeira
4. Somente as afirmações I e II são verdadeiras
5. Somente as afirmações II e III são verdadeiras

Seja

a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.

b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de sobre a região triangular de vértices e .

Seja

Seja

Com

1. Encontre todos os pontos críticos de em .

2. • Encontre um aberto n, tal que restrita à seja estritamente côncava.

   • Exiba um ponto

   • Esboce .

3. Exiba os pontos críticos de em que são pontos de máximo local, justificando sua resposta.

Seja

1. Encontre funções , e tais que a função restrita ao aberto

Seja estritamente côncava. Exiba um ponto .

(Dica: use os calculos do item )

Seja

Onde são números reais. Se

Então:

é ponto de mínimo local

é ponto de máximo local

não é ponto crítico

é ponto de sela

nenhuma das demais alternativas

Seja

Encontre e classifique todos os pontos críticos de .

Sobre a função dada por

Considere as afirmações:

1. Para todo , tem exatamente um ponto crítico
2. Para todo , não tem pontos de mínimo local
3. tem um único ponto de sela se, e somente se,
4. Para é um maximo local de

São verdadeiras:

1. Todas as afirmativas
2. Apenas as afirmações II, III, IV
3. Apenas as afirmações I e III
4. Apenas as afirmações I, III, IV
5. Apenas as afirmações III, IV

Determine e classifique os pontos críticos da função:

Questão 2: Considere a função .

1. Determine os pontos críticos de .
2. Classifique os pontos críticos de .

Seja

E seja definida por

1. Seja o determinante da matriz hessiana de em . Obtenha as funções e tal que
2. Classifique os pontos críticos de em
3. Encontre funções e tal que restrita ao conjunto aberto

Seja estritamente convexa. Desenhe tracejando e explicite

Dada a função

1. Determine seus pontos críticos.
2. Classifique seus pontos críticos.

Determine e classifique os pontos críticos de

Seja

Onde são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de fazem do ponto um ponto de máximo local de :

Seja

Onde são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de fazem do ponto um ponto de mínimo local de :

Seja

Onde são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de fazem do ponto um ponto de sela de :

Seja

Resolva o que se pede:

1. Determine os pontos críticos de .
2. Classifique os pontos críticos de .

Considere

1. Determine conjunto aberto

explicitando tal que restrita a seja estritamente convexa. Exiba a hessiana de e um ponto .

2. Esboce o conjunto aberto .

Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

b) Se uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas tal que . Se , então é um ponto de sela de .

Seja , (.

1. Calcule todos os pontos críticos de .
2. Classifique os pontos críticos de , determinando se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Considere a função

onde e são duas constantes reais.

1. Encontre os pontos (, ) tais que os autovalores da matriz hessiana de sejam estritamente positivos nestes pontos.
2. Classifique os pontos críticos de quanto a sua natureza (máximo local, mínimo local ou sela).

Considere a função

1. Encontre os pontos críticos de .
2. Classifique os pontos críticos de quanto a sua natureza (máximo local, mínimo local ou sela).

Seja definida no quadrado aberto dado por e .

a) Calcule os pontos críticos de em

b) Classifique os pontos críticos de em

c) Determine um aberto na forma explicitando e satisfazendo as seguintes propriedades:

• A hessiana de em seja estritamente negativa definida.

d) Seja . Calcule o valor máximo e mínimo de restrita à .

Classifique os pontos críticos da função

3. Encontre os eventuais máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função

Sobre a função dada por

Considere as afirmações:

1. Para todo , tem exatamente um ponto crítico
2. Para todo , não tem pontos de mínimo local
3. tem um único ponto de sela se, e somente se,
4. Para é um paximo local de

São verdadeiras:

1. Todas as afirmativas
2. Apenas as afirmações II, III, IV
3. Apenas as afirmações I e III
4. Apenas as afirmações I, III, IV
5. Apenas as afirmações III, IV

(Capítulo 14.7 – Exercício 7) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

(Capítulo 14.7 – Exercício 10) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

(Capítulo 14.7 – Exercício 49) Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c.

(Capítulo 14.7 – Exercício 11) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

Seja uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas no ponto . Assuma que é um ponto crítico de e que , . Então é um ponto de mínimo local de se:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) a informação é insuficiente

Determine e classifique os pontos críticos da função

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

Considere as seguintes afirmativas sobre a função

1. é um ponto de sela
2. é um ponto de mínimo local
3. é um ponto de sela
4. é um ponto de máximo local
5. é um ponto sela

Assinale a alternativa correta:

1. As afirmativas III e IV são as únicas corretas
2. Ás afirmativas II e IV são as únicas corretas
3. As afirmativas III, IV e V são as únicas corretas
4. As afirmativas I e IV são as únicas corretas
5. As afirmativas I e III são as únicas corretas

Encontre os pontos e os valores mínimos e máximos locais e os pontos de sela (se houver) da função

Esboce o gráfico da função em torno dos pontos encontrados acima.

Observação: não é preciso esboçar o gráfico de toda função; apenas mostre como é o gráfico perto dos pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de sela determinados.

(Capítulo 14.7 – Exercício 53) Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser , qual é o maior volume possível?

Considere a função dada por

Onde é um número real não nulo.

1. Para que valores de a função possui exatamente dois pontos críticos?
2. Classifique os dois pontos críticos de obtidos no item anterior.

Encontre os pontos críticos da função . Determine se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Seja uma função com derivadas de segunda ordem contínuas tal que . Suponha que seja um ponto de sela de , que e e que ; Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

5. Nenhuma das demais alternativas.

3 - Considere a função e a região .

(b) Encontre os máximos e mínimos de em .

Seja uma função diferenciável em . Considere a função . Então é correto afirmar que:

1. Se e então não é possível concluir se possui valor extremo local em
2. Se e então tem ponto de máximo em
3. Se e então tem ponto de máximo em
4. Se e então tem ponto de mínimo em
5. Se e então tem ponto de mínimo em

A função possui

1. Infinitos pontos de sela
2. Infinitos pontos de máximo local
3. Infinitos pontos de mínimo local
4. Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
5. Nenhuma das outras alternativas

Seja .

a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.

b) Existe que seja ponto de máximo ou de mínimo de em ? Justifique!

Mostre que a função admite um mínimo local no ponto .

Seja

1. Determine todos os pontos críticos de e os classifique
2. Determine o máximo absoluto de no retângulo

Encontre e classifique os pontos críticos de