No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por W(t) , e caribus, dada por C(t) , no norte do Canadá. A interação foi modelada pelas equações:

dC/dt = aC - bCW; dW/dt = -cW + dCW

(a) Que valores de dC / dt e dW / dt correspondem às populações estáveis?

(b) Como representar matematicamente a afirmação: “O caribu está se extinguindo.”?

(c) Suponha que a = 0,05 , b = 0,001 , c = 0,05 e d = 0.0001 . Encontre todos os pares (C, W) que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em equilíbrio, ou uma ou as duas espécies acabarão por se extinguir?

Passo 1

Vamos responder esse probleminha! E vamos resolver as questões uma por uma:

(a) Para encontrar os valores de d C d t e d W d t que correspondem às populações estáveis, precisamos igualar as derivadas das equações a zero e resolver para C   e   W . Ou seja:

d C d t   = 0 ⇒ a C - b C W = 0

d W d t = 0 ⇒ - c W + d C W = 0

Isso nos dá dois pontos críticos C ,   W .

Vamos encontrar esses pontos resolvendo essas equações simultaneamente.

Podemos resolver a primeira equação para C e substituir na segunda equação para encontrar W .

a C   -   b C W   =   0  

  C a   -   b W =   0  

Portanto, C = 0   o u   W = a / b

Substituindo C = 0 na segunda equação:

  - c W   +   d C W   =   0

Como C = 0 , isso nos dá - c W   =   0   , então W = 0

Portanto, os valores de d C / d t e d W / d t correspondentes às populações estáveis são 0,0   e   a b , 0 .

Passo 2

(b) Para representar matematicamente a afirmação "O caribu está se extinguindo", podemos considerar que a população de caribus está diminuindo.

Isso pode ser representado pela derivada d C d t   sendo negativa. Então, matematicamente, "O caribu está se extinguindo" seria representado por d C d t < 0   .

Passo 3

(c) Dados os valores a   =   0.05 ,     b   =   0.001 ,       c   =   0.05     e     d   =   0.0001   , podemos encontrar os pontos de equilíbrio substituindo esses valores nas equações que encontramos anteriormente.

Para C = 0 :

d W d t   =   - c W   +   d C W   =   - 0.05 W   +   0   =   0

⇒   W   =   0

Para W = a b :

d C d t   =   a C   -   b C W   =   0.05 C   -   0.001 C 0.05 0.001 ) = 0

⇒   0.05 C   -   0.05 C   =   0  

⇒   0   =   0

Portanto, os pontos de equilíbrio são ( 0,0 ) e a b , 0 = 0,05 0,001 , 0 = ( 50,0 ) .

Segundo este modelo, as espécies podem viver em equilíbrio quando a população de caribus é de 50 e a população de lobos é de 0.

Se a população de lobos for maior que zero, a população de caribus será eventualmente extinta.

Resposta

  1. d C d t = 0 e d W d t = 0 ;
  2. Isso quer dizer que a população é zero ou matematicamente, o valor de C = 0 .
  3. Os pares populacionais que levam a populações estáveis são ( 0,0 ) e ( 50,0 ) .
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