Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 35
No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por , e caribus, dada por , no norte do Canadá. A interação foi modelada pelas equações:
(a) Que valores de e correspondem às populações estáveis?
(b) Como representar matematicamente a afirmação: “O caribu está se extinguindo.”?
(c) Suponha que , , e . Encontre todos os pares que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em equilíbrio, ou uma ou as duas espécies acabarão por se extinguir?
Passo 1
Vamos responder esse probleminha! E vamos resolver as questões uma por uma:
(a) Para encontrar os valores de e que correspondem às populações estáveis, precisamos igualar as derivadas das equações a zero e resolver para Ou seja:
Isso nos dá dois pontos críticos .
Vamos encontrar esses pontos resolvendo essas equações simultaneamente.
Podemos resolver a primeira equação para e substituir na segunda equação para encontrar
Portanto,
Substituindo na segunda equação:
Como isso nos dá , então
Portanto, os valores de e correspondentes às populações estáveis são .
Passo 2
(b) Para representar matematicamente a afirmação "O caribu está se extinguindo", podemos considerar que a população de caribus está diminuindo.
Isso pode ser representado pela derivada sendo negativa. Então, matematicamente, "O caribu está se extinguindo" seria representado por
Passo 3
(c) Dados os valores podemos encontrar os pontos de equilíbrio substituindo esses valores nas equações que encontramos anteriormente.
Para
Para
Portanto, os pontos de equilíbrio são e .
Segundo este modelo, as espécies podem viver em equilíbrio quando a população de caribus é de 50 e a população de lobos é de 0.
Se a população de lobos for maior que zero, a população de caribus será eventualmente extinta.
Resposta
- e ;
- Isso quer dizer que a população é zero ou matematicamente, o valor de
- Os pares populacionais que levam a populações estáveis são e .