No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por W ( t ) , e caribus, dada por C ( t ) , no norte do Canadá. A interação foi modelada pelas equações: d C d t = a C - b C W ;d W d t = - c W + d C W (a) Que valores de d C d t e d W d t correspondem às populações estáveis? (b) Como representar matematicamente a afirmação: “O caribu está se extinguindo.”? (c) Suponha que a = 0,05 , b = 0,001 , c = 0,05 e d = 0,0001 . Encontre todos os pares ( C , W ) que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em equilíbrio, ou uma ou as duas espécies acabarão por se extinguir?

d C d t = 0 e d W d t = 0 ;Isso quer dizer que a população é zero ou matematicamente, o valor de C = 0 . Os pares populacionais que levam a populações estáveis são ( 0,0 ) e ( 50,0 ) .

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 35

No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por , e caribus, dada por , no norte do Canadá. A interação foi modelada pelas equações:

(a) Que valores de e correspondem às populações estáveis?

(b) Como representar matematicamente a afirmação: “O caribu está se extinguindo.”?

(c) Suponha que , , e . Encontre todos os pares que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em equilíbrio, ou uma ou as duas espécies acabarão por se extinguir?

Passo 1

Vamos responder esse probleminha! E vamos resolver as questões uma por uma:

(a) Para encontrar os valores de e que correspondem às populações estáveis, precisamos igualar as derivadas das equações a zero e resolver para Ou seja:

Isso nos dá dois pontos críticos .

Vamos encontrar esses pontos resolvendo essas equações simultaneamente.

Podemos resolver a primeira equação para e substituir na segunda equação para encontrar

Portanto,

Substituindo na segunda equação:

Como isso nos dá , então

Portanto, os valores de e correspondentes às populações estáveis são .

Passo 2

(b) Para representar matematicamente a afirmação "O caribu está se extinguindo", podemos considerar que a população de caribus está diminuindo.

Isso pode ser representado pela derivada sendo negativa. Então, matematicamente, "O caribu está se extinguindo" seria representado por

Passo 3

(c) Dados os valores podemos encontrar os pontos de equilíbrio substituindo esses valores nas equações que encontramos anteriormente.

Para

Portanto, os pontos de equilíbrio são e .

Segundo este modelo, as espécies podem viver em equilíbrio quando a população de caribus é de 50 e a população de lobos é de 0.

Se a população de lobos for maior que zero, a população de caribus será eventualmente extinta.

Resposta

e ;
Isso quer dizer que a população é zero ou matematicamente, o valor de
Os pares populacionais que levam a populações estáveis são e .

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