Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 34
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um pequeno lago e removida regularmente. Um modelo para a taxa de variação da população é dado pela equação
Onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (ou seja, sua capacidade de suporte) e é a porcentagem da população que é recolhida.
(a) Qual o valor de que corresponde à população estável?
(b) Se o pequeno lago pode manter 10.000 peixes, a taxa de nascimento é 5% e a taxa de colheita, 4%, encontre o nível estável da população.
(c) O que acontece se for aumentada para 5%?
Passo 1
Opa, bora lá! Vamos responder esse probleminha! Para a letra (a) fazemos uma analise simples e calcular o valor de que corresponde à população estável:
Se as populações são estáveis, as taxas de crescimento não são positivas nem negativas; isso implica que :
Passo 2
Para encontrar o nível estável da população, fazemos:
Como ,
Reorganizando os termos e eliminando , temos:
Passo 3
Agora, se , e , logo
Portanto, .
Passo 4
E se o nosso valor de for , utilizamos a equação anterior, logo,
O nível estável da população é .
Prontinho!!
Resposta
(a)
(b)
(c)