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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 28a

Esvaziamento de um reservatório cônico Agua escoa de um reservatório de concreto cônico (vértice para baixo), com raio da base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m3/min.

a. Qual a velocidade ( cm/min) da diminuição do nível da água quando a profundidade for de 5 m?

b. Qual a velocidade da variação do raio na superfície da água nesse momento? Use cm/min como unidade

Passo 1

Dados do reservatório cônico:

r = 45 m

h = 6 m

d V d t = 50 m 3 m i n

Conversão:

1 m = 100 c m

Passo 2

A altura da água no exato momento da questão é de 4 metros e como o reservatório é cônico a relação raio/altura é diretamente proporcional. Logo o raio ocupado é de:

r h = 45 6

Como queremos a variação da altura:

r = 45 h 6

Volume ocupado pela água é de:

V = 1 3 π r 2 h

Passo 3

Substituindo r temos:

V = 1 3 45 2 6 2 π h 3 = 18.75 π h 3

Derivando a equação no tempo temos:

d V d t = 18.75   π 3 h 2 d h d t

Como a profundidade a água é de 5 m, temos:

- 50 m 3 m i n = 56.25   π × 25 m 2 × d h d t

Uma vez que a vazão é de saída.

Explicitando d h d t

d h d t = - 0.0113   m / min ⁡    

Resposta

Convertendo o valor:

d h d t = - 1.13   c m / m i n

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