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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 15

15- Variação de Tensão Elétrica A tensão V (volts), a corrente I (amperes) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico, como o mostrado aqui, estão relacionados pela equação V = R I . Suponha que V aumente a uma taxa de 1   v o l t / s , enquanto I diminui a uma taxa de 1 3   A / s . Represente o tempo t em segundos.

  1. Qual é o valor de d V / d t ?
  2. Qual é o valor de d I / d t ?
  3. Qual a equação relaciona d R / d t a d V / d t e d I / d t ?
  4. Determine a taxa de variação de R quando V = 12   V e I = 2   A . R aumenta ou diminui?

Passo 1

Na letra a, a questão literalmente diz que a tensão aumenta 1 volt a cada segundo, então temos:

d V d t = 1 v o l t s

Passo 2

Para a letra b, a questão literalmente diz que a corrente elétrica diminui 1 / 3 A a cada segundo, logo temos:

d I d t = - 1 3 a m p e r e s

Passo 3

Para a letra c, nós precisamos derivar a equação que correlaciona tensão elétrica, resistência e amperagem.

d d t V = d d t R I

Como nenhum desses parâmetros é constante temos:

d V d t = d d I R I × d I d t + d d R R I × d R d t

d V d t = R d I d t + I d R d t

Como queremos correlacionar a taxa de variação da resistência no tempo devemos isolar-la:

d V d t - R d I d t = I d R d t

Passando I para o outro lado temos:

d R d t = 1 I d V d t - R I d I d t

Para não correlacionarmos o valor de R na equação podemos substituir-lo por:

V = R I → R = V I

Ficando com:

d R d t = 1 I d V d t - V I 2 d I d t  

Passo 4

Para a letra d podemos utilizar os valores dos passos 1 e 2 além da equação encontrada no passo 3.

d R d t = 1 2 × 1 - 12 2 2 × - 1 3 = 3 2 o h m s s

Como a variação é positiva então R está crescendo.

Resposta

  1. d V d t = 1 v o l t s

  2. d I d t = - 1 3 a m p e r e s

  3. d R d t = 1 I d V d t - V I 2 d I d t

  4. d R d t = 3 2 o h m s s
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