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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 7

Seja V o volume de um cilindro de altura h e raio r , e suponha que h e r variem com o tempo.

(a) Como estão relacionadas d V d t , d h d t e d r d t ?

(b) Em certo instante, a altura é de 6   c m e está crescendo a 1   c m / s , enquanto o raio é de 10   c m e está decrescendo a 1   c m / s . Com que rapidez o volume está variando naquele instante? O volume está crescendo ou decrescendo naquele instante?

Passo 1

Podemos relacionar essas variáveis escrevendo a fórmula do volume do cilindro:

V = π r 2 h

Passo 2

(a)

Vamos derivar essa expressão em relação a t pra relacionar d V d t , d h d t e d r d t

d V d t   = d π r 2 h d t

d V d t = π d r 2 h d t

Usando a regra da derivada do produto:

d V d t = π   d r 2 d t     h +     r 2 d h d t

Derivando e usando a regra da cadeia, temos que:

d V d t = π   d r 2 d r d r d t     h +     r 2 d h d h d h d t

d V d t = π   2 r h d r d t +     r 2 d h d t

Passo 3

(b)

Nesse enunciado ele dá alguns dados pra gente, vamos ver quais são eles:

Altura de 6   c m e crescendo com 1cm/s, então h = 6 e d h d t = 1

Raio de 10 c m e decrescendo a 1 c m / s ,   então r = 10 e d r   d t = - 1   . Lembrando de atentar pro sinal negativo por estar decrescendo.

Substituindo todos esses dados na expressão que encontramos na letra (b), ficamos com:

d V d t = π   2 r h d r d t +     r 2 d h d t

d V d t = π   2 10   c m 6   c m - 1 c m s +     10   c m 2 1 c m s

d V d t = π   - 120 c m 3 s +     100 c m 3 s

d V d t =   - 20 π c m 3 s

Como d V d t < 0 , o volume está decrescendo naquele instante.

Resposta

(a) d V d t = π   2 r h d r d t +     r 2 d h d t

(b) d V d t =   - 20 π c m 3 s , volume decrescendo

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