Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.6 - Ex. 11

No Exemplo 1 usamos as equações de Lotka-Volterra para modelar as populações de coelhos e lobos. Vamos modificar aquelas equações como a seguir:

De acordo com essas equações, o que acontece à população de coelhos na ausência dos lobos?

Calcule as soluções de equilíbrio e explique seus significados.

A figura mostra a trajetória de fase que começa no ponto . Descreva o que acabará ocorrendo com as populações de coelhos e lobos.

Esboce os gráficos das populações de coelhos e lobos como funções do tempo.

Passo 1

Queremos analisar as equações dadas e descobrir o que acontece com a população de coelhos quando a população de lobos for igual a .

Quando , temos

Para que , precisamos que .

Dessa forma, podemos pensar que se , para , nós esperamos que a população de coelhos cresça até , e se , para , podemos esperar que a população de coelhos diminua até . De qualquer forma, ela ficará estável em indivíduos.

Passo 2

Agora precisamos encontrar as soluções de equilíbrio.

Bom, se forem constantes, teremos

Então:

Substituindo esses valores na primeira equação, descobrimos que se , então ou

Agora, se , então

Fizemos muitas coisas! Vamos recapitular nossos resultados com calma, temos soluções de equilíbrio:

Caso (i):

Caso (ii): (como calculamos no item (a))

Caso (iii):

Passo 3

Neste item, nós queremos descrever o que acontecerá com a população de coelhos e lobos ao passar do tempo.

Então vamos olhar nosso gráfico:

Inicialmente temos lobos e coelhos, ambas as populações vão aumentando, até que a população de coelhos atinge seu máximo em cerca de , então a população de lobos continua a aumentar e a de coelhos começa a diminuir. A população de lobos cresce até atingir seu máximo em (aproximadamente), depois ambas as populações diminuem e começam a oscilar entre diminuírem e aumentarem, até ficarem estáveis em cerca de lobos e coelhos.

Passo 4

Agora precisamos desenhar um gráfico que descreva nossa explicação do item (c), assim ficamos com:

Resposta

Ela ficará estável em indivíduos.
Caso (i):

Caso (ii): (como calculamos no item (a))

Caso (iii):

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